Khan公开课 - 统计学学习笔记：（十一）平方之和、F统计

平方之和与自由度之和

这部分实际也是通过χ²为基础进行推导的，但是具体的数学证明不讲，可通过直观案例说明。有一个3(m)×3(n)的列阵。

共9个样本，样本均值为4，也是各组均值的均值，即mean of means。对于sum of square有：总体sum of square = 组内 sum of square + 组间 square，或者说总体波动=组内波动+组件波动。我们进行直观验证

SST =(3-4)²+(2-4)²+(1-4)²+(5-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-4)²+(6-4)²+(7-4)²= 30，9个数，知道均值，从其中8个可以推出另外一个，故自由度为mn-1=3*3-1=8。

SSW= (3-2)²+(2-2)²+(1-2)²+(5-4)²+(3-4)²+(4-4)²+(5-6)²+(6-6)²+(7-6)²= 6，在每组中：知道组的mean，每组自由度为n-1，总共m（n-1），本例3（3-1）=6

SSB= (2-4)²+(2-4)²+(2-4)²+(4-4)²+(4-4)²+(4-4)²+(6-4)²+(6-4)²+(6-4)²= 24，知道总的mean，最有一组的mean可以推到处理，故自由度为m-1=3-1=2

有SST=SSW+SSB，以及总自由度=组内自由度+组间自由度。

例子：F统计

有3组食用不同的食物，分别有3个测量采样，问不同食物是否存在影响？还是采样值属于正常波动。

H₀：Food does not make a difference, →μ₁=μ₂=μ₃;

H1: It does

Assume H₀ is true，将使用到F统计，F statistics，服从F distribution，F表示Fisher，生物学家兼统计学家，F statistics实际上是两个χ²分布的比较

如果数值越高，表示组间的波动大于组内的波动，各组之间就很可能存在差异。

在本例中F-statistics=（24/2）/（6/6）=12

对于α=10%，可以http://www.socr.ucla.edu/applets.dir/f_table.html查，（【注】要查不同α的F distribution table，不要去百度，查不出来，查Google就可以了）查F Table for α = 0.10，查df₁=2，df₂=6，查得critical F value=3.46，Fc=3.46，而本例的F值远大与此，所有出现这样的采样的概率远远低于10%，可以拒绝H₀。

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