离散学习笔记 - 二元关系

1.闭包 Closure
(1) 自反 reflexive
对称 symmetric
传递 transitive
(2) 其中，设R属于A*A（A为非空集合），则r(R) = R与A上恒等关系的并，s(R) = R与R的逆的并，
t(R) = R 并 R^2 并 R^3 并...并 R^l。
(3) rs(R) = sr(R)
rt(R) = tr(R)
st(R) 属于 ts(R)


2. 等价关系和划分
(1) 设R属于A*A，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。
(2) 令[x] _R为x的关于R的等价类，在不引起混乱时可简记为[x]。
(3) 以关于R的全体不同的等价类为元素的集合称为A关于R的商集，记作A/R。
(4) 设A为非空集合，若存在A的一个子集族S满足
a. S中不包含空集元素
b. 对于一切x,y属于S，且x,y不相等，则x与y不相交的(disjoint)
c. S中所有集合的并为A
则称S为A的一个划分，S中元素称为划分块。
(5) 非空集合A上的等价关系与A的划分是一一对应的。
(6) 第二类Stirling数，表示将n个不同的球放入r个相同的盒子中的方案数，可以由下列递归式计算：
f(n, r) = r * f(n - 1, r) + f(n - 1, r - 1)
很容易理解的一个递归式，其中初始状态为
f(n, 0) = 0, f(n, 1) = 1, f(n, 2) = 2^(n-1) - 1, f(n, n - 1) = C(n, 2), f(n, n) = 1
(7) A上等价关系的数量可以通过Stiring数求出，以A={a,b,c,d}为例
f(4,1) + f(4,2) + f(4,3) + f(4,4) = 15