求解最长回文子串 Manacher算法 之 POJ 3974

         对于一个给定字符串的最长回文子串，我们一般的想法都是枚举回文串的中心（假设回文串的长度都是奇数的哈），然后从这个中心逐渐向两边扩展，直到不能扩展为止。显然一开始我也是这么想的，但是明显这样做的时间复杂度是O(N^2)的，所以不用尝试就知道肯定是TLE的。

      于是想使用回文串的某些性质，但是没有想到到底应该怎么用，该用哪些性质，所以就百度了一下别人的解法，发现了一个神奇的Manacher算法。

      其实Manacher算法简单，就是使用了回文串的对称性。当然在说明这个算法之前，我们需要一个预处理，就是说在原来的字符串的前后以及每两个字符之间添加'#'字符（前提是这个'#'不在原串中出现过），显然现在所有的回文串的长度都是奇数的，这一点你就随便想想就知道了。

      我们现在假设有一个对称中心标号为id，他的回文串的半径是r[id]（单个字符的回文串半径是1），那么此时他的回文串右边是要延展到right = id+r[id]-1这个字符的。那么我们这个时候在计算(id, right]中的某个点x的时候，可以发现x的关于id的对称点x` = 2*id-x的回文串是已经计算过的，利用x`的回文的性质，我们计算x的半径的时候，就不用从1开始枚举，而是从min(r[x`], right-x+1)开始枚举。当然我们在整个的过程中采用的是贪心的方法，也就是说我们会逐渐选取更好的id是的right尽可能的大，显然这样子做是为了使后面的中心尽量少的扩展。

     当然你会问为什么这样子做就是接近O(N)的复杂度呢？我怎么感觉还是O(N^2)的呀？其实你可以这样子看，在整个过程中，right是线性的增加的，也就是说每一次以某中心扩展都会可能带来 right的增加，这当然是最坏的扩长情况，而我们发现right是严格单增的，而且最大不会超过字符串的长度，所以整个算法的复杂度就是O(N)的。

     在此我们不得不惊叹Manacer算法的精妙所在，下面贴上POJ 3974通过的代码供大家享用！

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int MAX = 1000010;
char s[MAX];
char ss[MAX<<1];
int dp[MAX<<1];

int solve(int len)
{
    int ans = 0;
    int right = -1;
    int id = -1;
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        int r = 1;
        if(right >= i)
            r = max(r, min(right-i+1, dp[2*id-i]));
        while((i-r+1>=0&&i+r-1<len)&&(ss[i-r+1]==ss[i+r-1]))
            r++;
        r--;
        if(i+r-1 > right)
        {
            right = i+r-1;
            id = i;
        }
        dp[i] = r;
        if(ans < r)
            ans = r;
    }
    return ans - 1;
}


int main()
{
    int cas = 1;
    while(scanf("%s", s) != EOF)
    {
        if(strcmp(s, "END") == 0)
            break;
        int len = strlen(s);
        int cnt = 0;
        for(int i=0; i<len; i++)
        {
            ss[cnt++] = '#';
            ss[cnt++] = s[i];
        }
        ss[cnt++] = '#';

        printf("Case %d: %d\n", cas++, solve(cnt));
    }
    return 0;
}

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