取石子游戏
“抢30”是我国民间的一个两人游戏，具有很强的对抗性和娱乐性。抢30游戏通常有两种玩法。
（1）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到30，谁就为胜方。
（2）两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，同时把两个人报出的所有数累加，谁先使这个累加数最先达到30，谁就为胜方。
解决最个问题的一般策略是用倒推法。
以（1）为例，要抢到30，必须抢到27；要抢到27，必须抢到24。如此倒推回去，可得到一系列关键数30、27、24、21、18、……9、6、3。
根据以上分析，抢30游戏本身并不是一个公平的游戏，初始数和先后顺序已经决定了最后的结果，因为只有后报数者才能抢到3的倍数，后报数者有必胜策略。
（二）关键因子
所有这些关键数都是3的倍数。3是两个报数者年内能够报出的最大数与最小数的和。在类似游戏中，我们把游戏者所能用到的最大数和最小数之和称之为关键因子k，关键数就是k的倍数.。在抢30的游戏中，关键因子k等于3。
又例如，抢100报数游戏中，如果每人可报数为1至9个连续的自然数，谁先报到100谁就是胜利者。这里的关键因子k就是可报最大数9和可报最小数1的和，即k=10。
报数获胜的策略就是：（1）让对方先报数；（2）每次报数为关键因子减去对方所报数。这样自己每次所报数都是关键数。
如果对方一定要后报，你只能期待对方不懂策略或者大意出错了。
（三）不平衡因子
在上述的抢30或者抢100的游戏中，最后数30是关键因子3的整数倍，最后数100是关键因子10的整数倍。我们可以把这样的游戏称为平衡游戏，也就是最后报数与关键因子相除余数为0。如果最后报数与关键因子相除有余数，这个游戏就可以称为不平衡游戏，其余数就是不平衡因子。
抢数不平衡游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略。先报数者的获胜策略就是先消除不平衡因子，使其变成一个平衡游戏，先报数者随后就成为平衡游戏的后报数者。
例如，在抢30游戏中，两人从1开始轮流报数，每人每次可报1到3个连续的数，谁先报到30，谁就为胜方。在这里，关键因子是4，不平衡因子是2。
又例如，抢100报数游戏中，如果每人可报数为1至10个连续的自然数，谁先报到100谁就是胜利者。在这里，关键因子是11，不平衡因子是1。
在不平衡游戏中，如果先报数者不懂得游戏策略，懂得这个策略的后报数者需要不断计算不平衡因子，以便最后获胜。
以下是三种经典的游戏，第三种是编程之美上讲的Nim游戏：
（一）巴什博奕（Bash Game）：
问题描述：有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m 个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m 个，所以，无论先取者拿走多少个,
后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100 者胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）
问题描述：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对(0,0)，那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是：
（0，0）
（1，2）
（3，5）
（4，7）
（6，10）
（8，13）
（9，15）
（11，18）
（12，20）
可以看出,a0=b0=0,ak 是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak+k，奇异局势有如下三条性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak>ak-1，而bk= ak+k> ak-1+(k-1)=bk-1>ak-1。所以性质1成立。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b)，分以下几种情况讨论：
1) 若b=a，则同时从两堆中取走a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；
2) 若a=ak ，b >bk，那么，从第二堆中取走b- bk个物体，即变为奇异局势(ak,bk)；
3) 若a=ak ，b < bk,则同时从两堆中拿走a-a(b-a)个物体,变为奇异局势(a(b- a) , b(b -a))；
4) 若a>ak ，b = ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a -ak即可；
5) 若a<ak ，b = ak + k,分两种情况：
(1) a=aj （j < k）时，从第二堆里面拿走b-bj即可，变为(aj , bj)；
(2) a=bj （j < k）时，从第二堆里面拿走b-aj即可，变为(bj , aj)。
注意：a!=ak且b!=bk 的情况不存在，因为由a或b的值肯定能确定一种奇异局势，即要么a=ak,要么b=bk。
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势(a，b）(a<b)，怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
ak =[k(1+√5)/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数）
奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk 组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/(1+√5)=(√5-1)/2，
可以先确定这是第几个局势。设该局势是第j个局势，那么j=[a(√5-1)/2]，此时这个奇异局势有2种可能：
1)若a=[j(1+√5)/2]，那么a = aj，若同时有b= aj + j，则奇异局势为(aj,bj)；
2)若a!=[j(1+√5)/2]，那么有可能是a = aj+1，此时如果又有b = aj+1+(j + 1)，则奇异局势为(aj+1,bj+1)。
若以上两种情况都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）
问题描述：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（0，n，n）的情形。
计算机算法里面有一种叫做按位模2 加，也叫做异或的运算，我们用符号（+）表示这
种运算。这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2 加的结果：
1 =二进制01
2 =二进制10
3 =二进制11 （+）
———————
0 =二进制00 （注意不进位）
对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。
任何奇异局势（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我们面对的是一个非奇异局势（a，b，c），要如何变为奇异局势呢？假设a < b< c,我们只要将c变为a（+）b,即可,因为有如下的运算结果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。要将c变为a（+）b，只要从c 中减去c（
a（+）b）即可。
例1：（14，21，39），14（+）21=27，3927=12，所以从39 中拿走12 个物体即可达到奇异局势（14，21，27）。
例2：（55，81，121），55（+）81=102，121102=19，所以从121 中拿走19 个物品就形成了奇异局势（55，81，102）。
例3：（29，45，58），29（+）45=48，5848=10，从58 中拿走10 个，变（29，45，48）。
例4：我们来实际进行一盘比赛看看：
甲:(7,8,9)>(1,8,9)奇异局势
乙:(1,8,9)>(1,8,4)
甲:(1,8,4)>(1,5,4)奇异局势
乙:(1,5,4)>(1,4,4)
甲:(1,4,4)>(0,4,4)奇异局势
乙:(0,4,4)>(0,4,2)
甲:(0.4,2)>(0,2,2)奇异局势
乙:(0,2,2)>(0,2,1)
甲:(0,2,1)>(0,1,1)奇异局势
乙:(0,1,1)>(0,1,0)
甲:(0,1,0)>(0,0,0)奇异局势
甲胜。
对于本次普及组“取石子游戏”来说，
19 010011
7 000111
5 000101
3 000011
010010 (18)10
50－18＝32
所以第1 次只能在第5 堆石子中取32 粒，使得取出32 粒后为奇异局势，即异或运算结果为0。
附：取石子游戏C 程序
任给N 堆石子,两人(游戏者与计算机)轮流从任一堆中任取,计算机先取,取最后一颗石子
胜.
#include<stdio.h> unsigned int a[11]; int n;void init1()
{int i;
printf("input n(210):");
scanf("%d",&n); for (i=1;i<=n;i++) {
printf("input No.%d Number of stone:/n",i); scanf("%d",&a);
}
}
void status()
{
int i; printf("Now remainder:/n"); for (i=1;i<=n;i++)
printf(" No.%d rem: %u /n",i,a);
}
unsigned int sum1()
{
unsigned int s;
int i; s=0; for(i=1;i<=n;i++)
s+=a; return s; }
unsigned int xorall()
{
unsigned int s;
int i; s=0; for (i=1;i<=n;i++)
s^=a; return s; }
main()
{
unsigned int t; int i,s,e; init1(); while (sum1()) {
if (xorall()==0) {
for (i=1;i<=n;i++) if(a>0) {
printf("computer take 1 from No.%d /n",i); a; goto loop2;
} } else for (i=1;i<=n;i++) {
s=a(xorall()^a) ; if (s>0) {
printf("computer take %u from No.%d /n",s,i); a^=xorall(); goto loop2;
} } loop2:; if(sum1()==0) {
printf("computer win!");
break;
} status(); while (1) {
printf("Input your selection(examp. 1 2 means take 2 from No.1):/n"); scanf("%d %u",&e,&t); if ((e>=1)&&(e<=n)&&(a[e]>=t)) {
a[e]=t;
goto loop1;
} else printf("data error! reinput.../n"); } loop1:; if(sum1()==0) {
printf("you win!");
break;
} }