hdu 4003 Find Metal Mineral (树形背包dp)

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题目链接:  hdu-4003 

题意

    给一棵n个节点的树, 节点编号为1~n, 每条边都有一个花费值. 
    有k个机器人从S点出发, 问让机器人遍历所有边,最少花费值多少?

思路

    很好的一题, 推荐!

    前天看的这题, 今天才想出来的. 方法想出来后,代码很简单
    最近做的几道dp,都是一开始没什么想法,然后过两天再想就想出来了,也许是因为人的潜意识其实会一直在想某个问题

    翻看一下网上其他人的做法, 和我的稍有不同, 他们是用f(i, j)表示子树i用j个机器人的最少花费, 一开始我也是这样
    去想,但是没想到怎么去状态转移.

    然后我换了一种思路,很快就想出来了

    如果从根节点出发,遍历所有节点之后再回到原点, 那么最少的花费一定是所有边的权值之和sum的两倍, 因为每条边都走了两次.

    而这题, 遍历完之后,并不需要走回出发点, 所以, 有些边只走了一次就可以了,
    如果用1台机器人走, 最少的的花费 = sum * 2 - {根节点到叶子节点路径的最大权值和}
    如果是j台机器走, 我们要让j台机器人只走一次的边的权值之和尽量大, 也就是减少的花费尽量大.

    那么, 我的状态表示为:
    f(i, j) 表示子树i用j个机器人最多可以减少的花费.
    
    对于i节点, 它的每个子节点的子树是一组物品, 我们可以选择派1,2,...j个机器人走去
    需要注意, 如果派x个机器人走向某个子节点v, 那么边edge(i, v)就会被走了x次, 花费了x*w(i, v).
    而原始的sum中每条边只走了两次, 所以走edge(i, v)的花费减少了 2*w(i,v) - x*w(i,v)

    最后可以得到状态转移式:

    f(i, j) = max{ max{f(i, j-k) + f(v, k) + 2*w(i,v) - k*w(i,v) | 1<=k<=j }  | v是i的儿子节点 }
    
    最终答案ans = sum * 2 - f(s, k)

代码