OpenCascade Primitives BRep-Cone
Abstract. BRep is short for Boundary Representation. Boundary Representation gives a complete description of an object by associating topological and geometric information for solid modeling. In this case, objects are described by their boundaries. There are two types of information in BRep: Topological information and Geometric information. This paper is concerned with the Cone BRep in OpenCascade, and also show how to use Tcl script to dump cone BRep info.
Key words. OpenCascade, BRep, Boundary Representation, Cone
1. Introduction
本文通过在Draw Test Harness中的Tcl脚本来生成圆锥体Cone的边界表示（BRep）数据，通过对生成的数据进行分析，来理解OpenCascade中的Cone的边界表示方式。
如下图所示为使用Tcl命令在Draw Test Harness中生成的圆锥体：
Figure 1.1 Cone Generated by Tcl in Draw Test Harness
2. Dump Cone BRep Info by Tcl
使用Tcl脚本在Draw Test Harness中输出圆锥体（Cone）的边界表示（BRep）数据的命令如下图所示：
Figure 2.1 Dump Cone BRep Info by Tcl in Draw Test Harness
以上命令会生成一个圆心位于坐标原点（0,0,0），半径R为10，高度H为20的圆锥体，圆锥体的尺寸如下图所示：
Figure 2.2 Cone Generated by Tcl Script
3. Cone BRep in OpenCascade
还是先从顶点（Vertex）开始编号，来对圆锥体（Cone）的边界表示（BRep）进行理解。从导出的BRep信息可以看出，圆锥体有两个顶点（Vertex），对其编号，如下图所示：
Figure 3.1 Vertex of the Cone
圆锥体共有三条边Edge，分别为Edge #7，Edge#8和Edge#10。现在来分析每条边中的几何信息。先来看看边Edge#7的几何信息：
Figure 3.2 Edge #7 of the Cone
三维空间曲线2是一个圆（Circle），取值范围是[0，2PI]。由其参数可知此圆圆心位于原点(0,0,0)，半径为10，位于XOZ平面上，即圆锥的底面的圆。
曲面1上的参数曲线4的取值范围是[0，2PI]。即PCurve4是位于原点，沿U方向的直线。所以在取值范围内得到曲面上的参数分别是（0, 0）和（2PI, 0）。即曲面上v值恒为0，u从0到2PI。由圆锥面的参数方程可知：
这就是圆的参数方程。即与空间曲线2表示的是同一个圆。同理曲面2上的曲线5也一样。
Figure 3.3 PCurve 4 on Surface 1 and PCurve5 on Surface 2 of the Cone
同理对Edge#8中的几何信息进行分析可知，其中有一条三维空间曲线1和曲面1上的闭合曲线2和3。它们都表示起点在（10，0，0）沿锥面上的一条斜线。
Figure 3.4 Edge#8 of the Cone
Edge#10中的几何信息只有曲面1上的曲线1，对应曲面上的参数分别为（0, 22.36）和（2PI, 22.36），且是退化边，退化（Degenerated）成一个点。即当v取22.36时，曲线的参数方程为：
Figure 3.5 Edge #10 of the Cone
Figure 3.6 Wires of the Cone
由上图可知，圆锥体有两个环Wire，分别是Wire#4和Wire#6。其中环Wire#4就是圆锥体的底面圆环。将两个环画出如下图所示：
Figure 3.7 Wires of the Cone
由两个环Wire#4和Wire#6对应的面Face#3和Face#5组成了壳Shell#2，壳Shell#2组成了体Solid#1。
4. Conclusion
通过Tcl生成的圆锥体Cone的边界表示BRep信息，分析了OpenCascade中的圆锥体的边界表示方式。
通过对OpenCascade中基本体Primitves的BRep信息进行分析，来理解OpenCascade中的边界表示方式。
通过使用Tcl脚本来输出BRep信息，来熟悉Tcl命令，体验Tcl在便利。
5. References
1. OpenCascade, Test Harness User’s Guide 2013
2. OpenCascade, BRep Format Description White Paper, 2013
3. John K. Ousterhout, Tcl and Tk Toolkit, 1993
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