poj3670

/* * poj3670.cpp * * Created on: 2010-8-18 * Author: friendy *//*

先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法： 设 A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。

则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足(1)x < y < I (2)A[x] < A[y] < A[i] (3)F[x] = F[y]此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。

设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。注意到D[]的两个特点：(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。

最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有 O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点 (2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意

 

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
//二分法求最长上升子序列和下降子序列
const int INF=1000000000;

int a[30005];
int b[30005];

int Search1(int low,int high,int t)                                                                      //单调非递减序列的查找函数
{
    int left=low,mid,right=high;
    while(left<=right)
    {
       mid=(left+right)>>1;
       if(t>=b[mid])
          left=mid+1;
       else
          right=mid-1;
    }
    return left;
}

int Search2(int low,int high,int t)                                                                      //单调非上升序列的查找函数
{
    int left=low,mid,right=high;
    while(left<=right)
    {
        mid=(left+right)>>1;
        if(t<=b[mid])
           left=mid+1;
        else
           right=mid-1;
    }
    return left;
}

int LCS(int n)
{
    int i,pos,temp=1;
    b[0]=-INF;
    b[1]=a[0];
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        pos=Search1(0,temp,a[i]);
        b[pos]=a[i];
        if(pos>temp)
          temp=pos;
    }
    return temp;
}

int LDS(int n)
{
    int i,pos,temp=1;
    b[0]=INF;
    b[1]=a[0];
    for(i=1;i<n;i++)
    {
       pos=Search2(0,temp,a[i]);
       b[pos]=a[i];
       if(pos>temp)
          temp=pos;
    }
    return temp;
}


int main()
{
    int i,j,n,len1,len2,len;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(i=0;i<n;i++)
           scanf("%d",&a[i]);
        len1=LCS(n);
        memset(b,0,sizeof(b));
        len2=LDS(n);
        len=len1>len2?len1:len2;
        n-=len;
        printf("%d\n",n);
    }
    system("pause");
    return 0;
}