补码的代数解释

任何一个数都可以表示为：

-a=2_­­^(n-1)-2^(n-1)-a；

假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：（第(n-1)位为符号位不计算在内）

a=k₀*2⁰+k₁*2¹+k₂*2²+……+k_(n-2)*2^(n-2)

这里k₀、k₁、k₂……k_(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1)，而2^(n-1)其二项展开式是：

1+2⁰+2¹+2²+……+2^(n-2)

在式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入

a=k₀*2⁰+k₁*2¹+k₂*2²+……+k_(n-2)*2^(n-2)

和

2^(n-1)=1+2⁰+2¹+2²+……+2^(n-2)

两式，

2^(n-1)-a=(1-k_(n-2))*2^(n-2)+(1-k_(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k₂)*2²+(1-k₁)*2¹+(1-k₀)*2⁰+1

而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k₀、k₁、k₂、k₃……不是0就是1，所以1-k₀、1-k₁、1-k₂的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而-a=2_­­^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上-2^(n-1)，这正是n位二进制的模。

 

注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2 ^(n-1)~2^(n-1)-1，所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2⁸是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0~2⁸-1。