KMP和扩展KMP

KMP：给出两个字符串A（称为模板串）和B（称为子串），长度分别为lenA和lenB，要求在线性时间内，对于每个A[i]（0<=i<lenA)，求出A[i]往前和B的前缀匹配的最大匹配长度，记为ex[i]（或者说，ex[i]为满足A[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值）。KMP的主要目的是求B是不是A的子串，以及若是，B在A中所有出现的位置（当ex[i]=lenB时）。
【算法】
设next[i]为满足B[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值（也就是B的自身匹配）。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出，要用它们来求ex[i]的值。
根据ex的定义，有A[i-1-ex[i-1]+1..i-1]==B[0..ex[i-1]-1]，这时，若有A[i]==B[ex[i-1]]，则可以直接得到ex[i]=ex[i-1]+1（因为i-1-ex[i-1]+1即i-ex[i-1]，现在由于A[i]==B[ex[i-1]]，可得A[i-ex[i-1]..i]==B[0..ex[i-1]]，即A[i-ex[i-1]+1-1..i]==B[0..ex[i-1]+1-1]，所以ex[i]=ex[i-1]+1）。若A[i]!=B[ex[i-1]]？
设j=next[ex[i-1]-1]，则根据next定义得B[ex[i-1]-j..ex[i-1]-1]==B[0..j-1]，又因为A[i-ex[i-1]..i-1]==B[0..ex[i-1]-1]得A[i-j..i-1]==B[ex[i-1]-j..ex[i-1]-1]，这样有 A[i-j..i-1]==B[0..j-1]！也就是此时只需再比较A[i]与B[j]的值是否相等即可，若相等，可得ex[i]=j+1，若仍不相等，则更新j为next[j-1]，继续比较A[i]与B[j]是否相等……直到A[i]与B[j]相等或直到j==0时，A[i]仍不等于B[j]，此时ex[i]=0。边界：求ex[0]时，初始j（用来代替ex[i-1]）为0。
现在还有一个问题，如何求next？显然next就是以B自身为模板串，B为子串的“自身匹配”，用类似的办法即可，唯一不同的是next[0]=lenB可以直接得到，求next[1]时，初始j（代替next[i-1]）为0。
【核心代码】

    lenA  =  strlen(A); lenB  =  strlen(B);
    next[ 0 ]  =  lenB;
     int  j  =   0 ;
    re2(i,  1 , lenB) {
         while  (j  &&  B[i]  !=  B[j]) j  =  next[j  -   1 ];
         if  (B[i]  ==  B[j]) j ++ ;
        next[i]  =  j;
    }
    j  =   0 ;
    re(i, lenA) {
         while  (j  &&  A[i]  !=  B[j]) j  =  next[j  -   1 ];
         if  (A[i]  ==  B[j]) j ++ ;
        ex[i]  =  j;
    }

扩展KMP：给出模板串A和子串B，长度分别为lenA和lenB，要求在线性时间内，对于每个A[i]（0<=i<lenA)，求出A[i..lenA-1]与B的最长公共前缀长度，记为ex[i]（或者说，ex[i]为满足A[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值）。扩展KMP可以用来解决很多字符串问题，如求一个字符串的最长回文子串和最长重复子串。
【算法】
设next[i]为满足B[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值（也就是B的自身匹配）。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出，要用它们来求ex[i]的值。
设p为目前A串中匹配到的最远位置，k为让其匹配到最远位置的值（或者说，k是在0<=i0<i的所有i0值中，使i0+ex[i0]-1的值最大的一个，p为这个最大值，即k+ex[k]-1），显然，p之后的所有位都是未知的，也就是目前还无法知道A[p+1..lenA-1]中的任何一位和B的任何一位是否相等。
根据ex的定义可得，A[k..p]==B[0..p-k]，因为i>k，所以又有A[i..p]==B[i-k..p-k]，设L=next[i-k]，则根据next的定义有B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]。考虑i-k+L-1与p-k的关系：
（1）i-k+L-1<p-k，即i+L<=p。这时，由A[i..p]==B[i-k..p-k]可以得到A[i..i+L-1]==B[i-k..i-k+L-1]，又因为B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]所以A[i..i+L-1]==B[0..L-1]，这就说明ex[i]>=L。又由于next的定义可得，A[i+L]必然不等于B[L]（否则A[i..i+L]==B[0..L]，因为i+L<=p，所以A[i..i+L]==B[i-k..i-k+L]，这样B[0..L]==B[i-k..i-k+L]，故next[i-k]的值应为L+1或更大），这样， 可以直接得到ex[i]=L！
（2）i+k-L+1>=p-k，即i+L>p。这时，首先可以知道A[i..p]和B[0..p-i]是相等的（因为A[i..p]==B[i-k..p-k]，而i+k-L+1>=p-k，由B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]可得B[0..p-i]==B[i-k..p-k]，即A[i..p]==B[0..p-i]），然后，对于A[p+1]和B[p-i+1]是否相等，目前是不知道的（因为前面已经说过，p是目前A串中匹配到的最远位置，在p之后无法知道任何一位的匹配信息），因此，要从A[p+1]与B[p-i+1]开始往后继续匹配（设j为目前B的匹配位置的下标，一开始j=p-i+1，每次比较A[i+j]与B[j]是否相等，直到不相等或者越界为止，此时的j值就是ex[i]的值）。在这种情况下，p的值必然会得到延伸，因此更新k和p的值。
边界：ex[0]的值需要预先求出，然后将初始的k设为0，p设为ex[0]-1。
对于求next数组，也是“自身匹配”，类似KMP的方法处理即可。唯一的不同点也在边界上：可以直接知道next[0]=lenB，next[1]的值预先求出，然后初始k=1，p=ex[1]。

需要严重注意的是，在上述的情况（2）中，本该从A[p+1]与B[p-i+1]开始匹配，但是，若p+1<i，也就是p-i+1<0（这种情况是有可能发生的，当ex[i-1]=0，且前面的ex值都没有延伸到i及以后的时候）的话，需要将A、B的下标都加1（因为此时p必然等于i-2，如果A、B的下标用两个变量x、y控制的话，x和y都要加1）！！

【核心代码】

lenA  =  strlen(A); lenB  =  strlen(B);
    next[ 0 ]  =  lenB; next[ 1 ]  =  lenB  -   1 ;
    re(i, lenB - 1 )  if  (B[i]  !=  B[i  +   1 ]) {next[ 1 ]  =  i;  break ;}
     int  j, k  =   1 , p, L;
    re2(i,  2 , lenB) {
        p  =  k  +  next[k]  -   1 ; L  =  next[i  -  k];
         if  (i  +  L  <=  p) next[i]  =  L;  else  {
            j  =  p  -  i  +   1 ;
             if  (j  <   0 ) j  =   0 ;
             while  (i  +  j  <  lenB  &&  B[i  +  j]  ==  B[j]) j ++ ;
            next[i]  =  j; k  =  i;
        }
    }
     int  minlen  =  lenA  <=  lenB  ?  lenA : lenB; ex[ 0 ]  =  minlen;
    re(i, minlen)  if  (A[i]  !=  B[i]) {ex[ 0 ]  =  i;  break ;}
    k  =   0 ;
    re2(i,  1 , lenA) {
        p  =  k  +  ex[k]  -   1 ; L  =  next[i  -  k];
         if  (i  +  L  <=  p) ex[i]  =  L;  else  {
            j  =  p  -  i  +   1 ;
             if  (j  <   0 ) j  =   0 ;
             while  (i  +  j  <  lenA  &&  j  <  lenB  &&  A[i  +  j]  ==  B[j]) j ++ ;
            ex[i]  =  j; k  =  i;
        }
    }

【时间复杂度分析】
在KMP和扩展KMP中，不管是A串还是B串，其匹配位置都是单调递增的，故总时间复杂度是线性的，都为O(lenA + lenB)（只是扩展KMP比KMP的常数更大一些）。
【应用】
KMP和扩展KMP在解决字符串问题中有大用。很多看上去很猥琐的字符串问题，都可以归结到这两种算法之中。另外，这里的“字符串”可以延伸为一切类型的数组，而不仅仅是字符数组。