【趣味编程】“至少出现一次7”的数
班级q群上老师给的题目，突然给出来的，感觉还是蛮喜欢这样的题目的。
前几天，一个朋友参加google总部的一个电话面试。有一道题目很有意思，题目不难，但是挺考程序员的思维的。
给定一个正整数n，写一个算法计算从1到n之间有多少“至少出现一次7”的数。例如n=20，那么有两个出现7的数：7，17。
看了下，应该是组合题没错，脑子里天马行空，凌乱…觉得能找到一个O(N)算法就已经够优了，同学又说有logN的，改天讨论一下。
讨论的时候我有个组合的思路：
比如100
高位不能为7
那么十位为7，那么10种；如果各位为7，那么10种；减去重复的1，故结果是10+10-1=19.可很明显这是有漏洞的，因为如果不全是10的N次方就有很多情况要考虑。
当时嘴大，把“杨辉三角”都给摔出口了。其实组合的题目里经常会用到杨辉三角的，在之前和一个学电子的朋友聊天的时候说到了这个话题，他提出“杨辉三角”的时候，我还纳闷：杨辉三角一直都知道，却没有用到。原来“杨辉三角”有如此美丽的性质。他给我好好上了一课。
陈yin老师立刻怀疑：“杨辉三角”和这个题目有五毛钱的关系吗？- -狠狠的被鄙视了。
晚上十二点多，看完两集《百家讲坛 易中天品三国》，回过头来想这个问题。脑子还是天马行空的，什么动态规划都来了，因为组合问题里也经常有用到动态规划的思维。结果是动态规划是可以解题，因为假如ABCDE五位数，我们可以先算前N位数中有7的个数，然后来推算N+1位数的时候7的个数，但是我不行——绝望了，主要是某位大于7，等于7，小于7的情况没有搞定。
片刻之后有个发现，还是从n=100开始讲起，
从1到100中有7的总数无非：C(2,1)*9^1 + C(2,2)*9^0 = 18+1 = 19。中，相信你也会想到了吧。
推广一下，比如n201，
- 我们可以先算出0到100有sum个7的数，
- 因为我们只考虑了0到100，所以还要考虑100到200，其实跟前者是一样的，所以sum*2；
- 最后还要考虑200到201，其实就是考考0到1，因为前面的2可以省略了。所以总数很明显是sum*2+0 = 38。
这个思路已经初具雏形了，所以不够严谨的思路是这样的，假如ABCDE，
- 先算出0到10000的总数（这个很容易算），乘于A，这样就把 00000到A0000的7的总数算出来了。
- 接着考虑A0000到ABCDE，我们把A甩掉，所以只需考虑0000到BCDE就行了。
- 重复上面的步骤，直到只剩下E为止。
上面的说法是不够严禁的，因为它没有考虑，不过已经不远了：
- 利用杨辉三角预算10，100，1000，10000…..的7的位数，这个很简单，而且也很快；
- 循环体：
去最高位highest，取除去最高位的剩下的数left；
总数+=数的总位数*相应的10^N的7的位数（在第一步有预算的） ；
如果highest>7，（比较悲剧，因为还要继续算），考虑只有最高位位7，其他位不为7的情况，这个简单；
如果highest=7，那恭喜你，结束运算了，就差点，总数+=left，因为第三步已经算出00000..到70000..，所以还要考虑70000…到7ABCD…，退出循环。 - 最后如果left>7，总数还得+1。
最朴素的算法数据n上了百万就尽显吃力了，明显应付不过来。上面的方法可以秒过。
下面给出代码：
int table[20][20]={0}; // 杨辉三角表
void yanghui() // 计算杨辉三角
{
table[0][0] = 1;
int u,v,j;
for(int i=1; i<11; i++)
{
u = 0,v = table[i-1][0],j = 0;
while(u!=0||v!=0)
{
table[i][j] = u + v;
u = table[i-1][j],v = table[i-1][++j];
}// while
}// for
}
int tab0000[20]; // 记录10，100，1000，10000.....的7的位数
void filltab0000() // 计算10，100，1000，10000.....的7的位数
{
for(int i=1; i<=8; i++) // 只算到10^8是因为溢出
{
int t = 1,ret = 0;
while(t<=i)
{
ret += table[i][t] * pow(9.0,i-t);
t++;
}// while
tab0000[i] = ret;
}// for
}
int main()
{
yanghui();
filltab0000();
for(int i=0; i<=100000000; i++)
{
int n = i,
size = log10(n*1.0),
ret1 = 0,
ret2 = 0;
while(n>10)
{
int t10 = pow(10.0,size); // 对于循环第一步
int t = n/t10;
int tt = n%t10;
if(tt==n) // 防止x00yzd中间出现多个0的情况
{
size--;
continue;
}// if
ret1 += t*tab99[size]; // 对于循环第二步
if(t>7) // 对应循环第三步
ret1 += 1*pow(9.0,size);
else if(t==7) // 对应循环第四步
{
ret1 = ret1 + tt;
break;
}// if
n = tt;
}
if(n>=7)
ret1++;
/*****下面一段代码是比对函数，是这个题目的最为朴素的算法*****/
n = i;
while(n)
{
int t = n;
while(t)
{
if((t%10)==7)
{
ret2 ++;
break;
}
else
t/=10;
}// while
n--;
}
/*****上面面一段代码是比对函数，是这个题目的最为朴素的算法*****/
if(ret1!=ret2)
{
cout << i << " " << ret1 << " " << ret2 << " " << "不同" << endl;
break;
}// if
cout << i << " " << ret1 << " " << ret2 << " " << "相同" << endl;
}// for
}
摘录一下老师的思路，这个思路很具启发性，但还有一些细节问题没有说好，老师也在第二天补充说明了：我是在第二天才搞定，我们群里有个忒牛逼的数据库的老师，深夜里把答案甩在群里，第二天才看到，最后还是他先KO，非常的郁闷并且很不服。
23:59:11
对于一个数N，去掉个位的数字有N%10个，乘以1是个位为7的数量
再去掉十位的数字有N%100个，乘以9是十位为7的数量（个位不能再取7，所以乘9）
再去掉百位的数字有N%1000个，乘以81是百位为7的数量（个位或十位都不能再取7，所以乘9的平方）
依次类推。。。例如2000内有7的个数=200+20*9+2*81=542
对于个位大于等于7的数字，最后的结果还要+1
本文完 2012-06-01 00:58
捣乱小子 www.daoluan.net PS：儿童节快乐！