再谈AC算法

在我的《AC算法详解》一文中，还存在一个很大的疏漏，那就是用蛮力法计算自动机的fail跳转表，这实际上是一个极度低效的方法。在Aho，Corasick两人的论文中，给出的是逐层求fail表的方法，两人证明了这个方法可以在O(n)（其中n为所有模式串的总长度和）时间复杂度内计算出模式集合P的fail跳转表，下面，我就来补完这一算法的执行步骤。还是以之前的模式集合P{he，she，his，hers，era}为例来说明，其构建的goto表如下图所示。这里为了描述方便，我们将该图简记为g，令g(a，b)为图中的一个转换a代表当前状态，b代表当前状态下的一个合法输入。例如g(1，e)=2表示节点1在输入字符e的情况下转换到节点2。

我们利用如下方法来求出g中所有节点的fail值。首先，令第1层节点的fail值都为0。然后，将第1层的节点依次加入队列queue尾部。然后，从队列queue的头部依次取出节点。对于取出的节点m，及其与子节点的状态转移g(m，i)=n，fail[n]的计算方法为，我们令fail[m]=p，如果p!=0且g(p，i)=0，我们令p=fail[p]，直到p=0，或者g(p，i)!=0为止，此时fail[n]=g(p,i)。对于状态n，如果output[p]包含匹配的模式串，则将output[p]中的匹配的模式，全部加入output[n]中。如果节点n仍有子节点，则将节点n加入队列queue的尾部，直到队列queue中的所有节点处理完毕为止，我们就得到了除状态0之外的所有节点的fail值。下面举上图的三个例子说明。

1. fail[2]=g(fail[1]，e)=g(0，e)=10，fail[6]=g(fail[1]，i)=g(0，i)=0，这里对于第1层节点1，3，10，我们有fail[1]=0，fail[3]=0，fail[10]=0。

2. 对于fail[5]，有g(4,e)=5，g(fail[4],e)=g(1,e)=2!=0，所以fail[5]=2，因为output[2]包含模式串he，所以我们要将output[2]中的内容添加到output[5]中，此时output[5]={she，he}。

3. 对于fail[9]，我们有g(8,s)=9，g(fail[8],s)=g(11,s)=0，但是此时p=fail[8]!=0，所以我们接着考察fail[p]=fail[fail[8]]=fail[11]=0，此时fail[11]=0，g(fail[11]，s)=g(0,s)=3，所以fail[9]的最终结果是3。由于节点3的output值为空，无需新增output[9]的内容。