[置顶] 篮球最强队伍与马尔科夫模型

        打篮球的时候经常遇到这样的情况，11个人，分成4、4、3一共三组，人少的一组上场的时候，由上一场败下阵的队伍中出一个人来补上空位。于是我就想，如此反复的组合队伍，会不会出现一个最强组合，使得这4个人一直赢比赛呢？当然，这忽略了体力不支等现实因素。于是，在场下我就小小的BrainStorm了一下，给了这个问题的一些假设与简化：

        假如有N(N>=5)个人打篮球，分成K个队伍(K>=3)，N不能被K整除，故每次比赛双方各有[N/K]+1人。定义“最强组合”如下：存在一个队伍，使得该队伍能够战胜剩余人员的任意队伍组合，那么这个队伍定义为“最强组合”。而如果场上没有最强组合，那么等概率的输掉一方，并且从输掉的队伍中等概率的挑选[N/K]+1 - mod(N,K)个人补充。

        问题：是否可以经过足够多的比赛，使得场上存在“最强组合”？

 

        解决该问题的模型我选择了马尔科夫模型，然后我做了一下N=5, K=3的情况，定义每个状态为每局比赛的胜利组合，那么一共有10个状态，因为5个里面挑选2个，一共有10个组合，那么假定组合45是“最强组合”，那么45就是该状态转移图的“汇”，以普通状态12做为例子，由于12的胜出的一方，那么下一个状态只能是12，以及345中选择两个的组合，也就是说以1/4的概率转向12,34,35,45，以此类推，该状态转移矩阵为

然后最强组合问题就是研究该马尔科夫过程的稳态的问题，经过几次迭代，可以看出45会一直赢得比赛。

问题来了！

Q1：对于任意合理的N与K，该马尔科夫过程一定是收敛的吗？

Q2：考虑到现实情况，最强队伍会以比较低的概率输掉比赛，那么稳态最终会是什么，表明了什么？（这个已经在例子中做过实验，稳态存在，而且每种组合都有可能赢得比赛，不过还是45的概率最大）

Q3：与“最强组合”相对的“最弱组合”对于该问题是否有什么新的idea出现？

Q4：这个模型有神马实际价值？

又一番研究

Q3：好像“最弱组合”反而更有意思。每个状态需要重新定义：定义败者的组合为一个状态，那么转移矩阵的每一列的概率赋值就需要考虑条件概率了（好麻烦！）