3D几何图元（6）

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重心坐标空间

虽然我们经常在3D中使用三角形，但三角形的表面是一个平面，它天生是一个2D物体。在3D中任意朝向的三角形表面上移动是一件令人烦恼的事，最好是有一个坐标空间与三角形表面相关联且独立于三角形所在的3D坐标空间，重心坐标空间正是这样的坐标空间。

三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值，这个权就称作重心坐标，从重心坐标（b₁，b₂，b₃）到标准3D坐标的转换为：

（b₁，b₂，b₃） <==> b₁v₁ + b₂v_{2 +}b₃v₃

公式12.21 从重心坐标中计算3D点坐标

重心坐标的和总是1：

b₁ + b_{2 +}b₃= 1

b₁、b₂和b₃的值是每个顶点对该点的"贡献"或"权"。图12.19展示了一些点和它们的重心坐标。

这里应注意以下几点：

（1）三角形三个顶点的重心坐标都是单位向量：

(1, 0, 0) <==> v₁

(0, 1, 0) <==> v₂

(0, 0, 1) <==> v₃

（2）在某顶点的相对边上的所有点的对应重心坐标分量为0。例如，对于所有与v₁相对边上的点，b₁=0。

（3）不只是三角形内的点，该平面上的所有点都能用重心坐标描述。三角形内点的重心坐标在范围0到1之间变化，三角形外的点至少有一个坐标为负。重心坐标用和原三角形大小相同的块嵌满整个平面，如图12.20所示：

重心坐标空间的本质不同于笛卡尔坐标空间。这是因为重心坐标空间是2D的，但却使用了三个坐标。又因为坐标的和等于1，所以重心坐标空间仅有两个自由度，有一个分量是冗余的。从另一方面说，重心坐标空间中仅用两个数就能完全的描述一个点，用这两个数就可以计算出第三个。

要将一个点从重心坐标空间转换到普通的3D坐标空间，只需要应用公式12.21来计算顶点加权平均值就可以了。而计算2D或3D中任意一点的重心坐标就稍微困难一些。让我们看看怎样在2D中做到这一点。见图12.21，它标出了三个顶点v₁、v₂、v₃和p。我们还标出了三个"子三角形"T₁、T₂、T₃，它们和同样下标的顶点相对。

现在，我们知道的是三个顶点和点p的笛卡尔坐标，而任务就是要计算重心坐标b₁，b₂和b₃。根据这些已知条件可以列出三个等式和三个未知数（x，y为顶点）

仔细观察公式12.22，发现每个表达式中的分母相同，并且都等于三角形面积的两倍（根据公式12.20）。还有，对每个重心坐标b_i，其分子等于"子三角形"T_i面积的两倍。换据说说：

b₁ = A(T₁) / A(T)

b₂ = A(T₂) / A(T)

b₃ = A(T₃) / A(T)

公式12.23 把重心坐标解释为面积比

注意，即使p在三角形外，这个解释也是成立的，这是因为如果顶点以逆时针方向列出，计算面积的公式将得到一个负值。如果三角形的三个顶点共线，分母上的"子三角形"的面积为0，重心坐标也就没有定义。

计算3D中任意点的重心坐标比在2D中复杂，不能再像以前那样解一个方程组了，因为有三个未知数和四个方程。另一个导致复杂性的地方是p可能不在三角形所在的平面中，这时重心坐标没有意义，但现在我们假设p在三角形所在的平面上。

一种技巧是通过抛弃x、y、z中的一个分量，将3D问题转化到2D中，这和将三角形投影到三个基本平面中某一个上的原理相同。理论上，这是能解决问题的，因为投影面积和原面积成比例。

那么应该抛弃哪个坐标呢？不能总是抛弃某一个，因为如果三角形垂直于某个平面，投影点将共线。如果三角形接近垂直于投影平面，会遇到浮点数精度问题。一种解决方法是挑选投影平面，使得投影面积最大。这可以通过检查平面的法向量做到，我们要抛弃的就是绝对值最大的坐标。例如，法向量为[-1, 0, 0]，我们将抛弃顶点p的x分量，把三角形投影到yz平面。下面的代码展示了怎样计算3D中任意点的重心坐标：

    Listing 12.3: Computing barycentric coordinates in 3D

    bool computeBarycentricCoords3d(
       const Vector3 v[3], // vertices of the triangle
       const Vector3 &p, // point that we wish to compute coords for
       float b[3] // barycentric coords returned here
    )
    {
       // First, compute two clockwise edge vectors
      Vector3 d1 = v[1] – v[0];
      Vector3 d2 = v[2] – v[1];

       // Compute surface normal using cross product. In many cases
      // this step could be skipped, since we would have the surface
      // normal precomputed. We do not need to normalize it, although
      // if a precomputed normal was normalized, it would be OK.
          Vector3 n = crossProduct(d1, d2);

       // Locate dominant axis of normal, and select plane of projection
       float u1, u2, u3, u4;
       float v1, v2, v3, v4;

       if ((fabs(n.x) >= fabs(n.y)) && (fabs(n.x) >= fabs(n.z)))
      {
         // Discard x, project onto yz plane
        u1 = v[0].y – v[2].y;
        u2 = v[1].y – v[2].y;
        u3 = p.y – v[0].y;
        u4 = p.y – v[2].y;
        v1 = v[0].z – v[2].z;
        v2 = v[1].z – v[2].z;
        v3 = p.z – v[0].z;
        v4 = p.z – v[2].z;
      }
       else if (fabs(n.y) >= fabs(n.z))
      {
         // Discard y, project onto xz plane
        u1 = v[0].z – v[2].z;
        u2 = v[1].z – v[2].z;
        u3 = p.z – v[0].z;
        u4 = p.z – v[2].z;
        v1 = v[0].x – v[2].x;
        v2 = v[1].x – v[2].x;
        v3 = p.x – v[0].x;
        v4 = p.x – v[2].x;
      }
       else
      {
        u1 = v[0].x – v[2].x;
        u2 = v[1].x – v[2].x;
        u3 = p.x – v[0].x;
        u4 = p.x – v[2].x;
        v1 = v[0].y – v[2].y;
        v2 = v[1].y – v[2].y;
        v3 = p.y – v[0].y;
        v4 = p.y – v[2].y;
      }

       // Compute denominator, check for invalid
       float denom = v1 * u2 – v2 * u1;

       if (denom == 0.0f)
      {
         // Bogus triangle - probably triangle has zero area
         return false ;
      }

       // Compute barycentric coordinates
       float oneOverDenom = 1.0f / denom;
      b[0] = (v4*u2 – v2*u4) * oneOverDenom;
      b[1] = (v1*u3 – v3*u1) * oneOverDenom;

      b[2] = 1.0f – b[0] – b[1];

       // OK
       return true ;
    }