二维子数组之和的最大值

本题目是从一维的扩展过来的，题目：有一个二维M＊N的二维数组，求连续的一片子数组（即组成了矩形）之和的最大值。

思路一：这么题目最简单的方法都是利用穷举法，设矩阵的四个边界为i_min,i_max(上下边界），j_min,j_max(左右边界）。

可以利用四层for循环来穷举子数组的边界值，时间复杂度为（M^2 * N^2），这还不算上求矩形的和。

思路二: O（M^2 * N^2）的方法

见《编程之美》p191

原数组B[M+1][N+1]，但是存数的时候都是从1开始的，将B[i][0]和B[0][j]都初始化为0，方便未来的计算。

下面计算以B[1][1]为左上角，右下角任意的矩形的元素和。用PS[M+1[N+1]存储。

for(i=0; i<=M; i++)
	      PS[i][0]=0;
	for(j=0; j<=N; j++)
	      PS[0][j]=0;
	for(i=1;i<=M; i++)
	      for(j=1; j<=N;j++)
	    	  PS[i][j]=PS[i-1][j] + PS[i][j-1] -PS[i-1][j-1]+B[i][j];
	int max 0;//或者为最小值，根据题意指定
	for(i_min=1; i_min<=M; i_min++)
		for(i_max=i_min;i_max<=M; i_max++)
			for(j_min=1; j_min<=M; j_min++)
				for(j_max=i_min;j_max<=M; j_max++)
				{
					//画个图写下坐标就好办多了
					sum = PS[i_max][j_max]-PS[i_min][j_max]-PS[i_max][j_min]+PS[i_min][j_min];
					if(max<sum)
						max=sum;
				}

思路三:O（m^2*n)的方法，假设上下边界已经确定，那么所有列组合在一起就成了一维数组(按照上下边界，将一列数求和）

先使用一个数组BS[M+1][N+1]，其中BS[i][j] = B[0][j]+B[1][j]+B[2][j]+....B[i][j].

for(j=1;j<=N;j++)
		for(i=1;i<=M;i++)
				BS[i[j]=BS[i1][j]+B[i][j];
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=M;j++)
		{
			for(k=1;k<=N;k++)
			{
				PS[k] = BS[j][k] - BS[i-1][k];
			}
			...//求一微的子数组之和最大值，数组为PS
		}

其实还有更快的算法，1998年科学家提出的。