解模线性方程小结

解模线性方程小结

对于扩展欧几里得主要部分说明:
1. d' = bx'+(a mod b)y', d' = gcd(b, a mod b);
    设 d = gcd(a, b), 因为 d = d', 所以
    d = d' = bx'+(a mod b)y' = bx' + (a-floor(a/b)*b)y' = ay'+b(x'-floor(a/b)y');
    故有迭代:
    x = y'; y = x'-floor(a/b)y';

对于解方程主要部分说明:
1.首先给出两个定理(证明请查看相关数论书):
   A. 方程 ax = b (mod n) 有解, 当且仅当 gcd(a, n) | b;
   B. 方程 ax = b (mod n) 有d个不同的解, 其中 d = gcd(a, n);
2.证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
   由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)
   证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);
   由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)
                             = b

代码如下:

#include  < iostream >
#include  < cmath >
using namespace std;

int  egcd( int  a,  int  b,  int   & x,  int   & y) {
     if  (b  ==   0 ) {
        x  =   1 ; y  =   0 ;
        return a;
    }  else  {
         int  tx, ty, d;
        d  =  egcd(b, a%b, tx, ty);
        x  =  ty; y  =  tx - a / b * ty;
        return d;
    }
}

void mels( int  a,  int  b,  int  n) {
     int  tx, ty, d, x0, i;
    d  =  egcd(a, n, tx, ty);
     if  (b%d == 0 ) {
        x0  =  ((tx * b / d)%n + n)%n;
         for  (i = 0 ; i < d; i ++ ) {
            printf( " %d  " , (x0 + i * n / d)%n);
        }
    }  else  {
        printf( " No solutions! " );
    }
    printf( " \n " );
}

int  main() {
    mels( 14 ,  30 ,  100 );
    return  0 ;
}