组合数学常用公式及算法

组合数学常用公式及算法

/**/ /**********************************************
1. C(m,n)=C(m,m-n)
2. C(m,n)=C(m-1,n)+C(m-1,n-1)

derangement D(n) = n!(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! +  + (-1)^n/n!)
                 = (n-1)(D(n-2) - D(n-1))
  Q(n) = D(n) + D(n-1)
求和公式,k = 1..n
1. sum( k ) = n(n+1)/2
2. sum( 2k-1 ) = n^2
3. sum( k^2 ) = n(n+1)(2n+1)/6
4. sum( (2k-1)^2 ) = n(4n^2-1)/3
5. sum( k^3 ) = (n(n+1)/2)^2
6. sum( (2k-1)^3 ) = n^2(2n^2-1)
7. sum( k^4 ) = n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
8. sum( k^5 ) = n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12
9. sum( k(k+1) ) = n(n+1)(n+2)/3
10. sum( k(k+1)(k+2) ) = n(n+1)(n+2)(n+3)/4
12. sum( k(k+1)(k+2)(k+3) ) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5
*********************************************/
// ploya 定理
// 例题：手镯有n个位置(位置等距)用来嵌入宝石，有m种宝石可以用来嵌入。可以产生多少种不同的手镯？
// n=4 ,m=3,结果21
// n=20 ,m=7,结果1 994 807 299 453 766 (上限)
#include < iostream >    
#include < cstdio >    
#include < cmath >    
using     namespace    std;   
const     int    M = 20 ;   
int    g[M];   
int    vis[M];   
int    main()   
{   
int   m,n;   
double   res=0,tmp;   
while(cin>>m>>n)   
{   
  res=0;   
  int   i,j,k,c;   
  for(i=0;i<m;i++)
  {   
   for(j=0;j<m;j++)   
   {   
    g[j]=(j+i)%m;   
    vis[j]=0;   
   }   
   for(j=0,c=0;j<m;j++)   
   {   
    if(vis[j]==0)
    {   
     c++;   
     for(k=j;vis[k]==0;vis[k]=1,k=g[k]);   
    }   
   }    
   res+=pow(n,c);   
   for(j=1;j*2<m;j++)   
   {   
    k=g[j];g[j]=g[m-j];g[m-j]=k;   
    vis[j]=0;   
   }   
   for(j=0;j<m;j++)vis[j]=0;   
   for(j=0,c=0;j<m;j++)   
   {   
    if(vis[j]==0)
    {   
     c++;   
     for(k=j;vis[k]==0;vis[k]=1,k=g[k]);   
    }   
   }   
   res+=pow(n,c);     
  }   
  printf("%0.0lf\n",res/(2*m));   
}  
return   0;   
}
生成排列：n <= 8 , wei 150ms n == 9  wei 1200ms  0 (n);
#include < iostream >
#include < ctime >
#include < fstream >
#include  < stdio.h >
#include  < string .h >
using   namespace  std;
ifstream  fin( " g.txt " );
ofstream  fout( " g.out " );
int  c = 0 ;
void  Swap( int   & x, int   & y)
{   
    int t;
        t=y;
    y=x;
        x=t;
}
void  perm( int  list[],  int  k,  int  m)
{
   if(k==m-1)
   {
           for(int i=0; i<m; i++) printf("%d",list[i]);
           printf("\n");
           c++;
   }
   else
           for(int i=k; i<m; i++)
           {
                   Swap(list[k],list[i]);
                   perm(list,k+1,m);
                   Swap(list[k],list[i]);
           }
}
int  main()
{   
        freopen("g.txt","r",stdin);
        freopen("g.out","w",stdout);
        int list[100];
        memset(list,0,sizeof(list));
        int n; scanf("%d",&n);
        for(int i=0; i<n;i++)
                 scanf("%d",&list[i]);
        time_t a=clock();
    perm(list,0,n);
    time_t a1=clock();
    printf("%d\n%d\n",a1-a,c);
    return 0;
}
高效生成组合算法：
int   list[ 100 ];
bool  b[ 100 ];
int  n,tot = 1 ;
int  C( int  n,  int  m) // 计算组合数：
{
  int result = 1;
  if(m > n - m) m = n - m;
  for(int i = 1; i <= m; ++i)
  {
   result = result * (n - m + i)  / i;//一定可以整除,^_^
  }
return result;
}

void  comb()
{   
         int i,j,k;
     while(1)
         {
           bool c=0;
       for(i=1; i<n; i++)
           {
                  if(b[i]==1&&b[i+1]==0)
                  {   
                         c=1;
                         break;
                  }
           }
            if(c==0) break;
          tot++;
      b[i+1]=1;
      b[i]=0;
          for(k=1; k<i; k++)
          {
                  for(j=1; j<i-k; j++)
                          if(b[j]==0&&b[j+1]==1)
                         {
                                 bool s;
                                 s=b[j+1];
                                 b[j+1]=b[j];
            b[j]=s;
                         }
         }
     for(i=1 ;i<=n; i++)
                  if(b[i]==1)
                           cout<<list[i];
         cout<<endl;
         }
}
int  main()
{     
         int m,i;
         memset(list,0,sizeof(list));
         memset(b,0,sizeof(b));
         cin>>n>>m;
         for(i=1; i<=n; i++)
             cin>>list[i];
         for(i=1; i<=m; i++)
         {
                      b[i]=1;
                          cout<<list[i];
         }
         cout<<endl;
         time_t a=clock();
         comb();
         time_t a1=clock();
         cout<<C(n,m)<<endl;
     cout<<tot<<" "<<a1-a<<endl;
    return 0;
}
// 整数划分数的个数：
int  q( int  n,  int  m)
{
        if((n<1)||(m<1)) return 0;
        if(n==1||m==1)return 1;
        if(n<m) return q(n,n);
        if(n==m) return q(n,m-1)+1;
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
错排的递推公式：
M(n) = (n - 1 )[M(n - 2 ) + M(n - 1 )]
特殊地，M( 1 ) = 0 ,M( 2 ) = 1