最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(C/C++)

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Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。 Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

 

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

  1  #include  < iostream >
  2  using   namespace  std;
  3   
  4  const   int  maxnum  =   100 ;
  5  const   int  maxint  =   999999 ;
  6   
  7  //  各数组都从下标1开始
  8  int  dist[maxnum];      //  表示当前点到源点的最短路径长度
  9  int  prev[maxnum];      //  记录当前点的前一个结点
 10  int  c[maxnum][maxnum];    //  记录图的两点间路径长度
 11  int  n, line;              //  图的结点数和路径数
 12   
 13  //  n -- n nodes
 14  //  v -- the source node
 15  //  dist[] -- the distance from the ith node to the source node
 16  //  prev[] -- the previous node of the ith node
 17  //  c[][] -- every two nodes' distance
 18  void  Dijkstra( int  n,  int  v,  int   * dist,  int   * prev,  int  c[maxnum][maxnum])
 19  {
 20       bool  s[maxnum];     //  判断是否已存入该点到S集合中
 21       for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
 22      {
 23          dist[i]  =  c[v][i];
 24          s[i]  =   0 ;      //  初始都未用过该点
 25           if (dist[i]  ==  maxint)
 26              prev[i]  =   0 ;
 27           else
 28              prev[i]  =  v;
 29      }
 30      dist[v]  =   0 ;
 31      s[v]  =   1 ;
 32   
 33       //  依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
 34       //  一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
 35            //  注意是从第二个节点开始，第一个为源点
 36       for ( int  i = 2 ; i <= n;  ++ i)
 37      {
 38           int  tmp  =  maxint;
 39           int  u  =  v;
 40           //  找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
 41           for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
 42               if (( ! s[j])  &&  dist[j] < tmp)
 43              {
 44                  u  =  j;               //  u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
 45                  tmp  =  dist[j];
 46              }
 47          s[u]  =   1 ;     //  表示u点已存入S集合中
 48   
 49           //  更新dist
 50           for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
 51               if (( ! s[j])  &&  c[u][j] < maxint)
 52              {
 53                   int  newdist  =  dist[u]  +  c[u][j];
 54                   if (newdist  <  dist[j])
 55                  {
 56                      dist[j]  =  newdist;
 57                      prev[j]  =  u;
 58                  }
 59              }
 60      }
 61  }
 62   
 63  //  查找从源点v到终点u的路径，并输出
 64  void  searchPath( int   * prev, int  v,  int  u)
 65  {
 66       int  que[maxnum];
 67       int  tot  =   1 ;
 68      que[tot]  =  u;
 69      tot ++ ;
 70       int  tmp  =  prev[u];
 71       while (tmp  !=  v)
 72      {
 73          que[tot]  =  tmp;
 74          tot ++ ;
 75          tmp  =  prev[tmp];
 76      }
 77      que[tot]  =  v;
 78       for ( int  i = tot; i >= 1 ;  -- i)
 79           if (i  !=   1 )
 80              cout  <<  que[i]  <<   "  ->  " ;
 81           else
 82              cout  <<  que[i]  <<  endl;
 83  }
 84   
 85  int  main()
 86  {
 87      freopen( " input.txt " ,  " r " , stdin);
 88       //  各数组都从下标1开始
 89   
 90       //  输入结点数
 91      cin  >>  n;
 92       //  输入路径数
 93      cin  >>  line;
 94       int  p, q, len;           //  输入p, q两点及其路径长度
 95   
 96       //  初始化c[][]为maxint
 97       for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
 98           for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
 99              c[i][j]  =  maxint;
100   
101       for ( int  i = 1 ; i <= line;  ++ i)  
102      {
103          cin  >>  p  >>  q  >>  len;
104           if (len  <  c[p][q])        //  有重边
105          {
106              c[p][q]  =  len;       //  p指向q
107              c[q][p]  =  len;       //  q指向p，这样表示无向图
108          }
109      }
110   
111       for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
112          dist[i]  =  maxint;
113       for ( int  i = 1 ; i <= n;  ++ i)
114      {
115           for ( int  j = 1 ; j <= n;  ++ j)
116              printf( " %8d " , c[i][j]);
117          printf( " \n " );
118      }
119   
120      Dijkstra(n,  1 , dist, prev, c);
121   
122       //  最短路径长度
123      cout  <<   " 源点到最后一个顶点的最短路径长度:  "   <<  dist[n]  <<  endl;
124   
125       //  路径
126      cout  <<   " 源点到最后一个顶点的路径为:  " ;
127      searchPath(prev,  1 , n);
128  }

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5

 本文转自：http://www.wutianqi.com/?p=1890
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