算法导论——计数排序（网易公开课）

算法导论——计数排序（网易公开课）

算法介绍

　　计数排序是一个类似于桶排序的 排序算法 ，其优势是对已知数 量范围的数组进行排序。它创建一个长度为这个数据范围的数组C， C中每个元素记录要排序数组中对 应记录的出现个数。这个算法于1954年由 Harold H. Seward 提出。     

      当输入的元素是 n 个 0 到 k 之间的整数时，它的运行时间是 Θ(n + k)。计数排序不是比较排序，排序的速度快于任何比较排序算法。

由于用来计数的数组C的长度取决于待排序数组中数据的范围（等于待排序数组的最大值与最小值的差加上1），这使得计数排序对于数据范围很大的数组，需要大量时间和内存。例如：计数排序是用来排序0到100之间的数字的最好的算法，但是它不适合按字母顺序排序人名。但是，计数排序可以用在基数排序中的算法来排序数据范围很大的数组。计数排序之所以能够突破前面所述的Ω(nlgn)极限，是因为它不是基于元素比较的。计数排序适合所需排序的数组元素取值范围不大的情况(范围太大的话辅助空间很大)。

定理：任意一个比较排序算法在最坏情况下，都需要做Ω(nlgn)次比较。

算法的步骤如下：

• 找出待排序的数组中最大和最小的元素
• 统计数组中每个值为i的元素出现的次数，存入数组C的第i项
• 对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）
• 反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1

以下引自麻省理工学院算法导论——笔记：

Counting sort: No comparisons between elements.
• Input: A[1 . . n], where A[ j]{1, 2, …, k} .
• Output: B[1 . . n], sorted.
• Auxiliary storage: C[1 . . k] .

Counting sort
for i  ← 1 to k
do C[i]  ← 0
for j  ←1 to n
do C[A[ j]]  ← C[A[ j]] + 1   —> C[i] = |{key = i}|
for i  ← 2 to k
do C[i]  ← C[i] + C[i–1]        —>C[i] = |{key  ← i}|
for j  ← n downto 1
do B[C[A[ j]]]  ← A[ j]
C[A[ j]]  ← C[A[ j]] – 1

实例：

对所有的计数累加（从C中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）

反向填充目标数组：将每个元素i放在新数组的第C(i)项，每放一个元素就将C(i)减去1

注：基于比较的排序算法的最佳平均时间复杂度为 O(nlogn)
     稳定性：算法是稳定的。

如果k小于nlogn可以用计数排序，如果k大于nlogn可以用归并排序。

代码实例：

 1  C ++ 实现：
 2  #include < cstdio >
 3  #include < algorithm >
 4  using   namespace  std;
 5  // n为数组元素个数，k是最大的那个元素
 6  void  CountingSort( int   * input,  int  size,  int  k){
 7  int  i;
 8  int   * result  =   new   int [size];  // 开辟一个保存结果的临时数组
 9  int   * count  =   new   int [k + 1 ];  // 开辟一个临时数组
10  for (i = 0 ; i <= k;  ++ i)
11  count[i] = 0 ;
12  // 使count[i]等于等于i的元素的个数
13  for (i = 0 ; i < size;  ++ i)
14  ++ count[input[i]];  // count数组中坐标为元素input[i]的增加1，即该元素出现的次数加1
15  for (i = 1 ; i <= k;  ++ i)
16  count[i]  +=  count[i - 1 ];
17  for (i = size - 1 ; i >= 0 ;  -- i){  // 正序来也行，但是到这来可以使排序是稳定的
18  -- count[input[i]];  // 因为数组下标从0开始，所以这个放在前面
19  result[count[input[i]]]  =  input[i];  // 这个比较绕， count[input[i]-1] 就代表小于等于元素
      }  
20  copy(result,result + size,input);  // 调用copy函数把结果存回原数组
21  delete [] result;  // 记得释放空间
22  delete [] count;
23  }
24  int  main()
25  {
26  int  input[ 11 ] = { 2 , 7 , 4 , 9 , 8 , 5 , 7 , 8 , 2 , 0 , 7 };
27  CountingSort(input, 11 , 9 );
28  for ( int  i = 0 ; i < 11 ;  ++ i)
29  printf( " %d  " ,input[i]);
30  putchar( ' \n ' );
31  return   0 ;
32  }