莫比乌斯反演定理证明（两种形式）

PoPoQQQ没有给出形式二的证明，我恨PoPoQQQ，证了好久。
证明之前，请先看看PoPoQQQ的ppt，当你看完发现没有证明想哭的时候，看看这篇博客。
莫比乌斯反演定理形式一：

F(n)=∑d|nf(d)=>f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)

证明:
恒等变形得：

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)

因为之前证明的这个定理：

∑d|nμ(d)={10n==1n>1

所以当且仅当 nk=1 ，即n=k时， ∑d|nkμ(d)=1 ,其余时候等于0。
故

∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)

莫比乌斯反演定理形式二：

F(n)=∑n|df(d)=>f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)

证明：
令 k=dn ,那么，就得到

f(n)=∑k=1+∞μ(k)F(nk)=∑k=1+∞μ(k)∑nk|tf(t)=∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)

所以当且仅当 tn=1 ，即t=n时， ∑k|tnμ(k)=1 ,其余时候等于0。
故得到

∑n|tf(t)∑k|tnμ(k)=f(n)

证明完毕。