《同中学生谈排列组合》苏淳 读书札记
引：“我们要把厚书读薄，再把薄书读厚.”
进一步的系统化将在读完这本书后，以表格或者思维导图的形式出现.
一、乘法原理
乘法原理讨论分阶段办事过程中的计数问题.
用集合论观点解释：
把分阶段进行的事情看作一种多重选取过程，每一个过程都是自某个集合挑选一个元素，然后考虑有多少种不同的挑选方式.
【应用】数的整除，因数分解问题
【例3】2160的正约数个数.
2160 = 2^4 * 3^3 * 5^1
则任意约数形式为2^i * 3^j * 5 ^k (0<=i<=4, 0<=j<=3, 0<=k<=1)
所以约束个数为(4+1)(3+1)(1+1)=32.
【例5】从题目中抽象出模型.
【例6】 一个结论：[u,v]=n, 令n的因子r的个数为n(r)，有k个因子.
则符合要求的数对个数为 (2n(r)+1)*..*(2n(r)+1).
需要注意的是最大公约数，是去两数某因子的最大值.
【例7】补集思想.(排除法)
在整除性问题中，确定前n-1位，然后分类讨论第n位的情况.
【例8】看了，未懂.
二、重复排列
【定义】如果在同一个n阶集合(有n个元素)中依次进行k次选取，而且选过的元素还可以再选，则一共有n^k中不同的选取方式(即重复排列方式).
【应用】空间解析几何、集合子集性质的讨论
【例5】立方体{(x,y,z):0<=x,y,z<=a}顶点坐标.
证 显然每个顶点(x,y,z)的三个坐标都是集合{0,a}的元素，所以共有2^3个不同的顶点.坐标略.
【例6】在三维欧氏空间给出9个格点(坐标值为整数)，求证其中必有两点中点坐标为格点.
证 若两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)的中点为格点，必有x1和x2，y1和y2，z1和z2和为偶数，即两者奇偶性相同.
考虑考虑欧氏空间格点奇偶性情况可知，每个坐标值都是{奇数，偶数}中一个元素，所以格点有8种不同的奇偶性.从而，原命题由抽屉原理可证.
【例7】n阶集合共有2^n个子集，2^n-1个真子集.
【例9】棋盘问题，从左下角走到右上角，n+1行，m+1列，求证f(m,n)<=2^(mn).
证 道路将城市分成mn个方块，而路线又将方块分成两个子集(其中一个可能为空)，显然不同子集个数为2^(mn).即f(m,n)<=2^(mn)，当且仅当m=n=1时等号成立.
三、排列
【定义】从n个不同的元素中有次序地选取k(1<=k<=n)个，叫做从n个不同元素中取出k个元素的一个排列.
【应用】组数问题中的“无重复数字”问题.
【例4】利用补集思想处理无重复数字问题.考虑不参加组数的数字整除情况和所有数字整除情况(联系1.7)
【例5】逐位讨论.
【例7】注意到k个数字取自不同行列(联想皇后问题)，所以子集个数为k!，每个子集的和分行列讨论，累加即可.
【例10】有2n个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式.(搭配问题)
解 (2n-1)(2n-3)...3*1=(2n)!/(2^n*n!)
需要注意的是求和使用的思想: 先求出全部数的积，然后去掉里面的偶数.也是一种间接的方法.
四、加法原理
【集合的分划】
若把一个集合B分成一些子集B1,B2,...,Bk，使得
(i)B1∪B2∪...∪Bk = B;
(ii)B1∩B2=∅ ,...，Bk-1∩Bk=∅.
满足这两条性质的子集B1,B2,...,Bk，叫做B的一个分划.
【定义】 |B|=|B1|+|B2|+...+|Bk| 加法公式
这种通过分划计数的原理叫做加法原理.
【例1】现有长度分别为1,2,...,n的细木棍各一根，可以以它们为边构成多少种不同的三角形?
解 以c的长度对这些三角形分类，将c=k的三角形集合记做Bk，则构成了集合B的一个分划.
在Bk中，三角形三边分别为a<b<k，其中k为定值，于是可将 (a,b)对应于平面中的格点. 通过限制条件a<k,b<k,a+b>k我们可以知道，符合条件的格点在a=b,a+b=k,b=k三条直线围成的三角形内,
所以若k为偶数，有|Bk|=1/4*(k-2)^2
若k为奇数，有|Bk|=1/4(k-1)(k-3)
从而可以求得|B|.(二阶等差数列求和不熟)
【例2】求方程x^2-[x]^2=(x-x[x])^2在区间[1,n]中根的数目.
解 将区间[k,k+1)中根的集合记做Bk.
若x∈[k,k+1)，记k=[x],p=x-[x](0<=p<1)，可得2kp=[2kp+p^2].
显然等式两边为整数，所以p=0,1/2k,...,2k-1/2k，故而|Bk|=2k。
由加法原理可知，|B|=n^2-n+1
五、带限制条件的排列问题
(i) 间接方法
【排除法】先假定不存在限制条件，求出所有情况的数目；再考虑受到限制条件，而不允许出现的情况数目.
(ii) 直接方法
【优限法】优先解决受限对象(受限对象或受限元素)的安置，然后再考虑一般对象的安置问题.
【插入法】首先安排一般元素，然后将首先元素插入到允许的位置上.(某些元素相邻或者不相邻)
【视一法】首先要把要求相邻排列的元素看成一个整体，同其他元素一同排列，然后再考虑这个整体内部的元素间的排列问题.
【例8】10个节目中有6个演唱，4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱.
解 反过来看问题，原命题等价于在任意两演唱(边界情况的话一个)中安排或不安排一个舞蹈，而这样的可能位置共7个.所以共6!*P(7,4)种顺序.
六、组合
【定义】从n个不同物件中无次序地(不计顺序地)选取k个，叫做从n个物件中选k个的一个组合.
如果考虑k个物件的选取顺序，可得P(n,k)=C(n,k)*k!
从而得到组合的计算公式C(n,k)=n!/k!(n-k)!
(i)C(n,n-k)=C(n,k)
(ii)C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)