卡特兰数
Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
原理：
令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +
+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,
)另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);（用程序实现，用这个公式）
卡塔兰数应用：
1. 矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
方法1：设P(n)表示n个元素括号化的数目。
如果a1前的左括号和ai后的右括号相匹配，那么a1…ai括号化的数目为P(i)，a(i+1)…an括号化的数目为P(n-i).此时括号化的数目为P(i)*P(n-i)。
a1…an括号化数目:
P(n)=P(1)*P(n-1)+P(2)*P(n-2)+…+P(i)*P(n-i)+…+ P(n-1)*P(1)。
下面来证明P(n)=h(n-1)
1)P(1)=h(0)=1,P(2)=h(1)=1
2)设P(m)=h(m-1)，对于m=1,2，…，n-1成立
P(n)=∑P(k)*P(n-k) (其中，k=1,2，。。。。，n-1)
=∑h(k-1)*h(n-k-1)
设t=k-1
=∑h(t)*h(n-t-2)（其中，t=0,1，。。。，n-2）
=h(n-1)
所以，n个元素括号化的数目是h(n-1)。n个矩阵链的一个括号化，与具有n-1个内节点n个叶节点的分析树相对应。
方法2：转化为问题2中的括号匹配问题。
2. n对括号有多少种匹配方式？
n对括号相当于有2n个符号，n个左括号、n个右括号，可以设问题的解为f(2n)。第0个符号肯定为左括号，与之匹配的右括号必须为第2i+1字符。因为如果是第2i个字符，那么第0个字符与第2i个字符间包含奇数个字符，而奇数个字符是无法构成匹配的。
通过简单分析，f(2n)可以转化如下的递推式 f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n - 4) + ... + f(2n - 4)*f(2) + f(2n-2)*f(0)。简单解释一下，f(0) * f(2n-2)表示第0个字符与第1个字符匹配，同时剩余字符分成两个部分，一部分为0个字符，另一部分为2n-2个字符，然后对这两部分求解。f(2)*f(2n-4)表示第0个字符与第3个字符匹配，同时剩余字符分成两个部分，一部分为2个字符，另一部分为2n-4个字符。依次类推。
假设f(0) = 1，计算一下开始几项，f(2) = 1, f(4) = 2, f(6) = 5。结合递归式，可以证明f(2n) 等于h(n)。证明方法参考问题1.
3。
有n个节点的二叉树共有多少种情形？
解：有h(n)种情形
自己的理解：
一共有a0,a1,a2,…,an共n个元素，由它们来构造二叉树。h(n)表示这n个元素一共可以构成h(n)个不同的二叉树。如果选取a0作为根节点，那么其左子树包含0个元素，左子树的数目是h(0)；其右子树包含n-1个元素，右子树的数目是h(n-1);以a0为根节点的二叉树的数目是h(0)*h(n-1)。如果选取a1作为根节点，那么其左子树包含1个元素a0，左子树的数目是h(1);其右子树包含h(n-2)个元素，右子树的数目是h(n-2);以a1为根节点的二叉树的数目是h(1)*h(n-2)。如果选取ai作为根节点，其左子树包含i个元素，左子树的数目是h(i)；右子树包含n-i-1个元素，右子树数目为h(n-i-1)；以ai为根节的二叉树的数目是h(i)*h(n-1-i)。
总的二叉树的数目为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+…+h(i)*h(n-1-i)+…+h(n-1)*h(0)
如果一共有0个节点，那么二叉树的数目为h(0)=1;如果一共有1个节点，那么二叉树的数目为h(1)=1
4、 出栈次序问题
一个栈（无穷大）的进栈序列为1,2,3，…,n，有多少个不同的出栈序列？
对于每个数，必须入栈一次，出栈一次。把入栈设为状态1，出栈设为状态0。n个数的所有状态对应于n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1。。。n的顺序入栈，入栈的次数一定大于等于出栈的次数。因此，合法的输出序列是满足下面条件的序列：由左向右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数。
解法1：第0个符号一定是1，否则该序列不合法。假设第0个1和第k个0相匹配，那么从第1个符号到第k-1个符号，从第k+1个符号到第n-1个符号也都是一个合法的序列。可以知道，k一定是一个奇数，设k=2*i+1(i=0,1,2,…,n-1)
假设2n个符号中合法的序列数为f(2n),则f(2n)= ∑f(2i)*f(2n-2*i-2),其中，i=0,1,…，n-1。
下面证明f(2n)=h(n)
1)f(0)=h(0)=1,f(2)=h(1)=1
2)假设当对于小于等于n的任意整数m满足：f(2m)=h(m)
f(2n)= ∑f(2i)*f(2n-2*i-2),其中，i=0,1,…，n-1
=∑h(i)*h(n-i-1),其中，i=0,1,…，n-1
=h(n)
所以，1,2，…，n，共有h(n)种不同的出栈序列
由n个0和n个1组成的满足下面条件的序列总数为h(n):1的个数不小于0的个数。
解法2:证明每个不合法序列与n+1个0和n-1个1组成的序列是一一对应的
不合法的序列从左向右扫描时，必然存在某一位上首先出现m+1个0和m个1（如果第0位是0，那么第0位就是满足条件的为。如果第0位是1，那么第0位上1的个数比0的个数多1,同时因为序列不合法，必然存在某一位上0的个数比1的个数多；所以，一定存在某一位上出现1的个数比0的个数少1）。此后的2n-2m-1位上有n-m个1和n-m-1个0。如果把后边的2n-2m-1位上的0和1互换，使之成为含有n-m个0和n-m-1个1的序列，结果得由n+1个0和n-1个1组成的序列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的序列。因为0的个数比1的个数多2，所以必在某一位上出现0的个数比1的个数多1。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的序列，即n+1个0和n-1个1组成的序列对应一个不合法的序列。
因此，不合法的2n个数的序列与由n+1个0和n-1个1组成的序列一一对应。
显然，不合法的方案数位C(2n,n-1),由此得出合法的序列数为C（2n，n）
-C(2n,n+1)=C(2n,n)/(n+1)。
5. 买票找零问题
球票为50元，有2n个人排除买票，其中n个人手持50元的钞票，n个人持100元的钞票，假设售票处无零钱，问这2n个人有多少种排列方式，不至于使售票处出现找不开钱的局面。
解：h（n）。和题目1一样，出栈入栈。
6. 凸多边形的三角剖分问题
求将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数。
对于有n条边（n+1个顶点）的多边形的一个三角剖分与具有n-1个叶节点的分析树对应。所以，由n+1个顶点n条边构成多边形的三角剖分数目为h(n-2).
公式：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。
f(2) = 1 ， f(3) = 1，f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14 …………
7. 上班路径问题
一位律师在住所以北n个街区和以东n个街区工作。每天她走2n个街区去上班。如果她不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
解：h(n)。出栈入栈
8.
圆上的点连线问题
在圆上选择2n个点，将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？
解：h(n)
9. 12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
这个笔试题，很YD，因为把某个递推关系隐藏得很深。
问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0,1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决。
如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是catalan数,这里只是用于栈，等价地描述还有，二叉树的枚举、多边形分成三角形的个数、圆括弧插入公式中的方法数，其通项是c(2n, n)/(n+1).
方法2：先给括号标号（序号对应身高），我们把左括号当作第一排的人，右括号当作第二排的人。
- 左/右括号的序号递增（满足两排都有序）
- 第n个右括号之前必定至少有n左括号（排在第二排某个位置，对应第一排的肯定比其小）
我们可以得出括号匹配可以对应到身高排列。还要证反过来也成立。
先明确这里身高对应排列序号，合法的括号匹配就是左右括号数量一致（这里显然），并且前面的“第n个右括号之前必定至少有n左括号”。
对于每一个满足要求的身高排列，
| a1 |
< |
a2 |
< |
a3 |
| ʌ |
|
ʌ |
|
ʌ |
| b1 |
< |
<>b2 |
< |
b3 |
对b1，我们知道身高小于b1的a至少有a1
对于b2，我们知道身高小于b2的a至少有a1，a2
。。。。
我们让a对应（，b对应），而括号的位置序号对应身高序号。
所以可以证明按身高排序的ai 和bi序列，替换成括号后是合法匹配。
10.
先求一道题：n个元素的出栈，入栈合法方案数。
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n 位、含n 个1、n 个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n 个1、n 个0的2n 位二进制数共有C(2n,n) 个，下面考虑不满足要求的数目.
考虑一个含n 个1、n 个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1 位上时有m+1 个0和m 个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m 个1和n-m-1 个0。将2m+2 及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1 个0和n-1 个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。
从而 C(2n,n) / (n + 1 )= C(2n,n)-C(2n, n+1) 。证毕。
以这道题为基础，有
- n对括号的匹配问题
- n个元素的出栈，入栈合法方案数。
- 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
- 一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ （因为有对角线的存在，向上走的次数如果大于向右的次数，会越过对角线）
参考：http://blog.csdn.net/yushuai007008/article/details/7693405