扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法------求解线性方程ax+by=c

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足等式： ax+by =gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab<>0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-[a/b]*b)y2=ay2+bx2-[a/b]*by2;

也就是ax1+by1==ay2+b(x2-[a/b]*y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-[a/b]*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

<span style="font-size:14px;">int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return d;
}
//用扩展欧几里得算法解线性方程ax+by=c;
int solve(int a,int b,int c,int& x,int &y)
{
    int d=Extended_Euclid(a,b,x,y);
    if(c%d) return false;
    int k=c/d;
    x*=k;
    y*=k;//求的只是其中一个解
    return true;
}
参考练习题：<a target=_blank href="http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=144">http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=144</a></span>

样例输出

思路：

根据扩展欧几里德算法

我们知道，对于与不完全为 0 的非负整数 a 和 b，gcd(a,b)表示 a 和 b 的最大公约数，那么存在唯一的整数 x、y，使得 gcd(a,b)=ax+by。

那么问题现在就简单了，如果n%gcd(a,b)==0,那么就 a*x+b*y=n 就有解，否则无解。

代码：

<span style="font-size:14px;"> 
#include<iostream>
#include<time.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
	if(a==0)return b;
	return gcd(b%a,a);
}
int main()
{
	int a,b,n,m;
	//freopen("2.txt","r",stdin);
	//freopen("1.txt","w",stdout);
	cin>>m;
	for(int i=0;i<m;i++){
		scanf("%d %d %d",&a,&b,&n);
		if((n%gcd(a,b))==0)
			printf("Yes\n");
		else printf("No\n");
	}

}        </span>

10673 - Play with Floor and Ceil

链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=18&problem=1614&mosmsg=Submission+received+with+ID+14537249

题意：

给定x, k，求p, q使得：

思路：

利用扩展的欧几里得定理，ax + by = gcd(a, b)；x, y一定有整数解。

ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2=bx2+(a-(a/b)*b)y2

参考代码：

<span style="font-size:14px;">#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void gcdextend(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        gcdextend(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
int main()
{

    int cc;
    cin>>cc;
    while(cc--)
    {
        int a,b,c,k;
        cin>>c>>k;
        a=(int )floor(1.0*c/k);
        b=(int )ceil(1.0*c/k);
        int d,x,y;
        gcdextend(a,b,d,x,y);
        x*=(c/d);
        y*=(c/d);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
}
</span>