Waterloo local 2001.01.27

Waterloo local 2001.01.27

题目分类
Gopher II	图论，二分图匹配
Tight words	DP
WERTYU	简单题
Division	math（高精）
Hotter Colder	半平面交（geometry）

Gopher II：
只需要把老鼠看着一个集合，鼠洞看着一个集合，然后鼠与洞之间有边相连仅当鼠能在规定时间跑到洞中，然后求最大匹配，用总数减去最大匹配即为答案！

Tight words ：
题意：给一个字母表 {0, 1, ... , k}, 0 <= k <= 9 ，问一串长度为 n 的字符串（只含给定字母表中的字符）是否是紧凑的，紧凑的定义是相邻字符之差的绝对值不大于 1

dp中状态是长度为 i 最后一个字符为 j 的概率p[i][j]，状态转移为
p[i][j]  =  1/k                              (i=0;   j=1,2..k)
p[i][0] =  p[i-1][0]/k   +   p[i-1][1]/k                                  (i>0)
p[i][k] =  p[i-1][k]/k   +   p[i-1][k-1]/k                               (i>0)
p[i][j]  =  p[i-1][j-1]/k +   p[i-1][j]/k    +    p[i-1][j+1]/k      (i>0,   j=1, 2, 3...  k-1)




Division :
这道题要高精度， 建议用 java
题目问 (t^a - 1)/(t^b -1) 是不是小于 100位 的整数，如果是，求出它的值
t, a, b 为小于2147483647 的正整数
我做的时候是先猜出他的判断条件，判断条件比较容易猜：

猜想 ：仅当 b | a 时，上述表达式是整数

有这个猜想，就可以把上述表达式化减成等比数列
1 + t^b + (t^b)^2 + (t^b)^3 + ... + (t^b)^(a/b - 1)
接下来只要二分求出这个式子的和，由于和有最大100位，所以要用高精度，还有要注意特判 t==1 的特殊情况，我在这里wa了好几次

做题时因为是猜的，交的很忐忑 ><！现在贴出证明，从discuss里淘出来的

gcd(a^m - 1, a^n - 1) (m > n)

if m = p*n + r    (0<r<n)
then 
   a^m - 1 = a^(p*n+r) - a^r + a^r - 1
           = a^r(a^(p*n)-1) + (a^r-1)

 since (a^n-1) | (a^(p*n)-1)
  
and (a^r-1) < (a^n-1)

so   r==0

所以   m%n==0




Hotter Colder：
题目不赘述了，有兴趣的可以直接看题目
这道题中的游戏很像一个人不断报价，另一个人不断告诉你是多了还是少了，
与报价不同，报价是一维的，这道题是二维的
很裸的半平面交， 数据很弱，而且就题目本身来说，它是切割一次输出一次答案，
这里用 o(n^2) 的算法反而比 o(nlogn)的算法好