【泛化物品】【HDU1712】【ACboy needs your help】

ACboy needs your help

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Problem Description

ACboy has N courses this term, and he plans to spend at most M days on study.Of course,the profit he will gain from different course depending on the days he spend on it.How to arrange the M days for the N courses to maximize the profit?

 

Input

The input consists of multiple data sets. A data set starts with a line containing two positive integers N and M, N is the number of courses, M is the days ACboy has.
Next follow a matrix A[i][j], (1<=i<=N<=100,1<=j<=M<=100).A[i][j] indicates if ACboy spend j days on ith course he will get profit of value A[i][j].
N = 0 and M = 0 ends the input.

 

Output

For each data set, your program should output a line which contains the number of the max profit ACboy will gain.

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    2 2
1 2
1 3
2 2
2 1
2 1
2 3
3 2 1
3 2 1
0 0
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    3
4
6
   
   
   
   

 

Source

HDU 2007-Spring Programming Contest

 

背包九讲中已经很好的介绍了这种问题：

复杂度（n*m*m)

泛化物品 

定义  
考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。  

更严格的定义之。在背包容量为 V 的背包问题中，泛化物品是一个定义域为 0..V 中的整数的函数 h ，当分配给它的费用为 v 时，能得到的价值就是 h(v) 。  

这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组 h[0..V] ，给它费用 v ，可得到价值 h[V] 。  

一个费用为 c 价值为 w 的物品，如果它是 01 背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了 h(c)=w 其它函数值都为 0 的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当 v 被 c 整除时有 h(v)=v/c*w ，其它函数值均为 0 。如果它是多重背包中重复次数最多为 n 的物品，那么它对应的泛化物品的函数有 h(v)=v/c*w 仅当 v 被 c 整除且 v/c<=n ，其它情况函数值均为 0 。  

一个物品组可以看作一个泛化物品 h 。对于一个 0..V 中的 v ，若物品组中不存在费用为 v 的的物品，则 h(v)=0 ，否则 h(v) 为所有费用为 v 的物品的最大价值。 P07 中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。  

泛化物品的和  
如果面对两个泛化物品 h 和 l ，要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用 v ，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于 0..V 的每一个整数 v ，可以求得费用 v 分配到 h 和 l 中的最大价值 f(v) 。也即 f(v)=max{h(k) +l(v-k)|0<=k<=v} 。可以看到， f 也是一个由泛化物品 h 和 l 决定的定义域为 0..V 的函数，也就是说， f 是一个由泛化物品 h 和  l 决定的泛化物品。  

由此可以定义泛化物品的和： h 、 l 都是泛化物品，若泛化物品 f 满足 f(v)=max{h(k)+l(v-k)|0<=k<=v} ，则称 f 是 h 与 l 的和，即 f=h+l 。这个运算的时间复杂度是 O(V^2) 。  

泛化物品的定义表明：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s，则答案就是s[0..V]中的最大值。 

#include <cstdio>  
#include <cstdlib>  
#include <cmath>  
#include <cstring>  
#include <ctime>  
#include <algorithm>  
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#define oo 0x13131313   
using namespace std;
int n,m;
int A[101][101];
void input()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=1;j<=m;j++)
	 	scanf("%d",&A[i][j]);
}
void init()
{
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
}
void ADD(int *ans,int *a,int *b)
{
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		ans[i]=0;
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			ans[i]=max(ans[i],a[j]+b[i-j]);
		}
	}
}
void solve()
{
	int ans=0;
	if(n>=2)
	{
		ADD(A[0],A[1],A[2]);
		for(int i=3;i<=n;i++)
		ADD(A[i-2],A[i-3],A[i]);
		for(int i=1;i<=m;i++)
		ans=max(ans,A[n-2][i]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	else 
	{
		for(int i=1;i<=m;i++)
		ans=max(ans,A[1][i]);
		printf("%d\n",ans);
	}
}
int main()
{
//	init();
	while(cin>>n>>m&&(n||m))
	{
		input();
		solve();
	}
}