穷举法

枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题成立者，即为问题的解。

采用枚举算法解题的基本思路：

（1）    确定枚举对象、枚举范围和判定条件；

（2）    一一枚举可能的解，验证是否是问题的解

下面我们就从枚举算法的的优化、枚举对象的选择以及判定条件的确定，这三个方面来探讨如何用枚举法解题。

例1：百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在，请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才能刚好用一百块钱买一百只鸡？

算法分析：此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z)为判定条件，穷举各种鸡的个数。

下面是解这个百鸡问题的程序

 

for(int x=0;x<10;x++) for(int y=0;y<10;y++) for(int z=0;z<10;) { if(((x+y+z)==100)&&((x*3+y*2+z/3)==100)) cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl; }

上面的条件还有优化的空间，三种鸡的和是固定的，我们只要枚举二种鸡（x,y），第三种鸡就可以根据约束条件求得（z=100-x-y），这样就缩小了枚举范围，请看下面的程序：

for(int x=0;x<100;x++) for(int y=0;y<100;y++) { int z=100-x-y; if(z<0) continue; if(((x*3+y*z+z/3)==100)&&((z%3)==0)) { cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl; } }

 

程序循环了1013 次，时间复杂度为O(n3)；优化后的程序只循环了（102*101/2）次 ，时间复杂度为O(n2)。从上面的对比可以看出，对于枚举算法，加强约束条件，缩小枚举的范围，是程序优化的主要考虑方向。

例2、将1,2...9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:2:3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数.

例如:三个三位数192,384,576满足以上条件.(NOIP1998pj)

算法分析：这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称NOIP1998pj，以下同）。此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位一位地去枚举：

for a:=1 to 9 do

for b:=1 to 9 do

………

for i:=1 to 9  do

这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为93，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。程序如下：

var

  t,x:integer;

  s,st:string;

  c:char;

begin

  for x:=123 to 321 do{枚举所有可能的解}

  begin

    t:=0;

    str(x,st);{把整数x转化为字符串，存放在st中}

    str(x*2,s); st:=st+s;

    str(x*3,s); st:=st+s;

    for c:='1' to '9' do{枚举9个字符，判断是否都在st中}

      if pos(c,st)<>0 then inc(t) else break;{如果不在st中，则退出循环}

      if t=9 then   writeln(x,' ',x*2,' ',x*3);

  end;

end.

本文转自：http://blog.chinaunix.net/u/18135/showart_173867.html