括号数和catalan数

括号数和catalan数

给定 P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案

n=4的例子如下


假设这个数是h(n-1), （这里之所以是n-1，是因为实际上n指的是元素个数，每2个元素乘一次，只要n-1次就可以乘完)
那么显然h(n-1)=h(0)h(n-2)+h(1)h(n-3)+...+h(n-2)h(0) 
对应的例子则是
a(b(cd)) a((bc)d)    h(0)h(n-2)  (只要先对右边的n-2个元素进行乘积，接着再跟最左边的元素相乘，h(0)=1）
(ab)(cd)                  h(1)h(n-3)  (先乘最左边的2个元素，再乘最右边的n-3个元素，之后再把这2个元素相乘）
(a(bc))d ((ab)c)d    h(n-2)h(0) 


从括号化展开的应用
1. 进出栈
   对括号进行进出栈的模拟，左括号代表进栈，右括号代表进行出栈，那么进出栈的顺序就相当于括号化的方案
2.三角剖分
   三角剖分就是从距阵乘法类比过来的，而距阵乘法就是括号化的问题