hdu2481 Toy

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先考虑不旋转的情况，也不考虑取模什么的，此时是一个纯粹的生成树计数问题（见zd的08年集训队论文），可以表示成一个行列式：

 

由于n很大，所以不能直接求解该行列式，需要对其进行化简：


其中， 
 

且容易得出有关它的递推式：B_n=3B_n-1-B_n-2

于是借助矩阵乘法，就可以在O(logn)时间内，求出A_n的值

下面考虑旋转，此时，可以用Burnside引理，考虑每种置换下不变的方案数，旋转i时的轮换长度均为d(i)=gcd(n,i)，因此该置换不变的方案数显然是A_d(i)，故总方案数为

计算中，许多gcd(i,n)的值，是相同的，所以可以用欧拉函数对上式变形

 

最后考虑取模问题，我们不妨先每次让它模n*m，计算每种置换下不变的方案数的和，最后直接除以n即可。由于n*m最大可以为10¹⁸，这里要用到大整数乘积取模。

 

#include  < iostream >
#include  < cstdlib >

using   namespace  std;

long   long  mo;
long   long  f[ 40 ][ 2 ][ 2 ],g[ 40 ][ 2 ][ 2 ];

long   long  mulmod( const   long   long   & a, long   long  b)
{
   long   long  res = 0 ,tmp = a % mo;
   while (b > 0 )
  {
     if  (b & 1 )
       if  ((res += tmp) > mo) res -= mo; 
     if  ((tmp <<= 1 ) > mo) tmp -= mo;
    b >>= 1 ;
  }
   return  res;
}

void  multi( long   long  a[ 2 ][ 2 ], long   long  b[ 2 ][ 2 ], long   long  c[ 2 ][ 2 ])
{
   int  i,j;
   for (i = 0 ;i < 2 ;i ++ )
     for (j = 0 ;j < 2 ;j ++ )
      c[i][j] = (mulmod(a[i][ 0 ],b[ 0 ][j]) + mulmod(a[i][ 1 ],b[ 1 ][j])) % mo;
}

long   long  detB( int  n)
{
   if  (n == 0 )  return   1 ;
   int  o = 0 ,i,t = n - 1 ;
   for (i = 0 ;t > 0 ;i ++ ,t >>= 1 )
     if  ((t & 1 ) == 1 )
    {
      multi(g[o],f[i],g[o + 1 ]);
      o ++ ;
    }
   return  (g[o][ 0 ][ 0 ] * 3 % mo + g[o][ 1 ][ 0 ] * 8 % mo) % mo;
}

long   long  detA( int  n)
{
   if  (n == 1 )  return   1 ;
   return  (detB(n) - detB(n - 2 ) + mo + mo - 2 ) % mo;
}

int  euler( int  n)
{
   int  ans = 1 ,i;
   for (i = 2 ;i * i <= n;i ++ )
     if  (n % i == 0 )
    {
      ans *= i - 1 ; n /= i;
       while (n % i == 0 )
      { ans *= i; n /= i; }
    }
   if  (n > 1 ) ans *= n - 1 ;
   return  ans;
}

int  main( void )
{
   int  n,m,i,d,res;
   long   long  sum;
  g[ 0 ][ 0 ][ 0 ] = 1 ; g[ 0 ][ 0 ][ 1 ] = 0 ;
  g[ 0 ][ 1 ][ 0 ] = 0 ; g[ 0 ][ 1 ][ 1 ] = 1 ;
   while (scanf( " %d%d " , & n, & m) != EOF)
  {
    mo = ( long   long )(n) * m;
    f[ 0 ][ 0 ][ 0 ] = 0 ; f[ 0 ][ 0 ][ 1 ] = mo - 1 ;
    f[ 0 ][ 1 ][ 0 ] = 1 ; f[ 0 ][ 1 ][ 1 ] = 3 ;
     for (i = 1 ;i < 30 ;i ++ )
      multi(f[i - 1 ],f[i - 1 ],f[i]);
    sum = 0 ;
     for (i = 1 ;i * i <= n;i ++ )
    {
       if  (n % i != 0 )  continue ;
      d = i;
      sum = (sum + mulmod(detA(d),euler(n / d))) % mo;
       if  (i * i == n)  break ;
      d = n / i;
      sum = (sum + mulmod(detA(d),euler(n / d))) % mo;
    }
    res = sum / n;
    printf( " %d\n " ,res);
  }
   return   0 ;
}