一点思路

一点思路

最近又研究了线性筛素数方法的扩展，的确非常强大。
经典的应用是线性时间筛欧拉函数和求约数个数。我想了一下线性时间筛约数和(积性函数)，也是可行的。
对于一个大于1的数n，可以写成p1 ^ a1 * p2 ^ a2 * ... * pn ^ an，那么n的约数和就是(p1 ^ 0 + p1 ^ 1 + ... p1 ^ a1) * ... * (pn ^ 0 + ... + pn ^ an)，由此就可以有递推关系了：
设f[i]表示i的约数和，e[i]表示i的最小素因子个数，t[i]表示(p1 ^ 0 + .. + p1 ^ a1)，p1是t的最小素因子，a1是p1的幂次，这样对于i * p[j]，如果p[j]不是i的因子，那么根据积性条件，f[i*p[j]] = f[i] * (1 + p[j])，e[i] = 1，t[i] = 1 + p[j]；如果p[j]是i的因子，那么相当于t[i]多了一项p1 ^ (a1 + 1)，首先e[i]++，然后tmp = t[i]，t[i] += p[j] ^ e[i]，f[i*p[j]] = f[i] / tmp * t[i]。这样也就做到了O(1)的时间计算出了f[i*p[j]]同时也计算出了附加信息。

这种方法还可以继续推广，例如可以记录i的最小素因子，这样就可以做到O(log n)时间的素因子分解。