最短路径—Floyd算法

Floyd算法

所有顶点对之间的最短路径问题是：对于给定的有向网络G=(V,E)，要对G中任意两个顶点v,w(v不等于w),找出v到w的最短路径。当然我们可以n次执行DIJKSTRA算法，用FLOYD则更为直接，两种方法的时间复杂度都是一样的。

 

1.定义概览

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

 

2.算法描述

1)算法思想原理：

     Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

2).算法描述：

a.从任意一条单边路径开始。所有两点之间的距离是边的权，如果两点之间没有边相连，则权为无穷大。 　　

b.对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是更新它。

以下面的有向网络为例：

 

 

 1 #include<stdio.h>
 2 #define n 5   //结点数目
 3 #define maxsize 160  //表示两点间不可达
 4 int path[n][n];//路径矩阵
 5 void floyd(int A[][n],int C[][n]);  //A是路径长度矩阵，C是有向网络G的带权邻接矩阵
 6 void main()  7 {  8  printf(" ——所有顶点对之间的最短路径：Floyd算法——\n");  9  printf("（160为无穷远，不可达）\n");  10  int A[n][n],C[n][n]={  11   {0,10,maxsize,30,100},  12   {maxsize,0,50,maxsize,maxsize},  13   {maxsize,maxsize,0,maxsize,10},  14   {maxsize,maxsize,20,0,60},  15   {maxsize,maxsize,maxsize,maxsize,0}  16  };  17  floyd(A,C);  18 }  19 void floyd(int A[][n],int C[][n])  //A是路径长度矩阵，C是有向网络G的带权邻接矩阵
 20 {  21  int i,j,k,next;  22  int max=160;  23  for(i=0;i<n;i++)//设置A和path的初值
 24  {  25   for(j=0;j<n;j++)  26  {  27    if(C[i][j]!=max)  28     path[i][j]=j;   //j是i的后继
 29    else
 30     path[i][j]=0;  31    A[i][j]=C[i][j];  32  }  33  }  34  for(k=0;k<n;k++)  35  //做n次迭代，每次均试图将顶点k扩充到当前求得的从i到j的最短路径Pij上
 36  {  37   for(i=0;i<n;i++)  38  {  39    for(j=0;j<n;j++)  40  {  41     if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j]))  42  {  43      A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];  //修改长度
 44      path[i][j]=path[i][k];    //修改路径
 45  }  46  }  47  }  48  }  49  for(i=0;i<n;i++)//输出所有顶点对i,j之间的最短路径Pij的长度及路径
 50  {  51   for(j=0;j<n;j++)  52  {  53    if(i!=j)  54  {  55     printf("%d到%d的最短距离为",i+1,j+1);  56     printf("%d\n",A[i][j]);   //输出Pij的长度
 57     next=path[i][j];        //next为起点i的后继顶点
 58     printf("输出路径：\n");  59     if(next==0)  60      printf("%d到%d不可达\n",i+1,j+1);  61     else//Pij存在
 62  {  63      printf("%d",i+1);  64      while(next!=j)  65  {  66       printf("——>%d",next+1);  //打印后继点
 67       next=path[next][j];        //继续找下一个后继点
 68  }  69      printf("——>%d\n",j+1);       //打印终点
 70  }  71     printf("****************************************************\n");  72  }  73  }  74  }  75 }  76  
 77  
 78 运行结果：  79  ——所有顶点对之间的最短路径：Floyd算法——  80 （160为无穷远，不可达）  81 1到2的最短距离为10  82 输出路径：  83 1——>2
 84 ****************************************************
 85 1到3的最短距离为50  86 输出路径：  87 1——>4——>3
 88 ****************************************************
 89 1到4的最短距离为30  90 输出路径：  91 1——>4
 92 ****************************************************
 93 1到5的最短距离为60  94 输出路径：  95 1——>4——>3——>5
 96 ****************************************************
 97 2到1的最短距离为160  98 输出路径：  99 2到1不可达 100 ****************************************************
101 2到3的最短距离为50 102 输出路径： 103 2——>3
104 ****************************************************
105 2到4的最短距离为160 106 输出路径： 107 2到4不可达 108 ****************************************************
109 2到5的最短距离为60 110 输出路径： 111 2——>3——>5
112 ****************************************************
113 3到1的最短距离为160 114 输出路径： 115 3到1不可达 116 ****************************************************
117 3到2的最短距离为160 118 输出路径： 119 3到2不可达 120 ****************************************************
121 3到4的最短距离为160 122 输出路径： 123 3到4不可达 124 ****************************************************
125 3到5的最短距离为10 126 输出路径： 127 3——>5
128 ****************************************************
129 4到1的最短距离为160 130 输出路径： 131 4到1不可达 132 ****************************************************
133 4到2的最短距离为160 134 输出路径： 135 4到2不可达 136 ****************************************************
137 4到3的最短距离为20 138 输出路径： 139 4——>3
140 ****************************************************
141 4到5的最短距离为30 142 输出路径： 143 4——>3——>5
144 ****************************************************
145 5到1的最短距离为160 146 输出路径： 147 5到1不可达 148 ****************************************************
149 5到2的最短距离为160 150 输出路径： 151 5到2不可达 152 ****************************************************
153 5到3的最短距离为160 154 输出路径： 155 5到3不可达 156 ****************************************************
157 5到4的最短距离为160 158 输出路径： 159 5到4不可达 160 ****************************************************

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 参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_686d0fb001012r05.html

http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html