北大ACM1163 - The Triangle （枚举法&备忘录法&动态规划）

1.1.1           枚举法

该问题我使用了枚举法、备忘录法、动态规划法主要是对三种算法进行比较。

任何选择的问题，都可以通过穷举所有可能性，然后从中选择适合的项，这就是枚举法。枚举法是自顶向下，一般也会有递归公式。

设h为Triangle 的高度，v[i,j]为点(i,j)的数字值，sum[i,j]表示到从底到点(i,j)的所有路径中的最大和

运行结果

Time Limit Exceeded

 

根据题目给出的例题，GetSum共执行了31次，而点一共15个，所以有些点在计算sum时，进行了重复计算。

备忘录法就是对枚举法的改进，备忘录法也是自顶向下。

 

代码下载

http://download.csdn.net/detail/gykimo/4948780

1.1.2           备忘录法

将sum初始化为-1，获得某点的sum时，先判断sum是否小于0，如果小于0，说明还没有计算过该点的sum，如果大于等于0，则说明计算过该点的sum，可以直接使用sum。

 

运行结果

Accepted  768K 16MS

 

GetSum共执行了15次，而点一共15个，所以每个点只执行了一次。

1.1.3           动态规划算法

这个问题有动态规划的特点

最优子结构

如果要求出(0,0)点的最大和，可以求出(1,0)和(1,1)的sum。而且这个时候(1,0)和(1,1)的sum是最大的，如果不是最大的，也就是存在另一个路径，使得(1,0)和(1,1)的sum更大，利用剪切法，这存在矛盾，所以(1,0)和(1,1)的sum是最大的。依此类推，该问题存在最优子结构。

递归解（也有叫状态转移公式的）

重叠子问题

根据备忘录法的分析，存在重叠子问题。

 

运行结果

Accepted 768K 16MS

1.1.4           枚举法备忘录法 动态规划对比

具体详见枚举备忘录法最优规划对比
http://blog.csdn.net/gykimo/article/details/8457018

根据《枚举&备忘录法&最优规划》中，动态规划比备忘录法有更高的空间利用效率，我们分析当sum[i][j]计算后，v[i][j]其实根本没有存在的必要了，因为再也不会使用该数据了，那么，我们可以将sum[i][j]充当v[i][j]，在初始状态下，sum[i][j]就是v[i][j]的值，当计算出来某点的路径和后，sum[i][j]就表示该点的路径和了。

 

运行结果

Accepted 740K 0MS

确实节省了部分空间，时间上也节省了不少

 

代码

北大ACM1163.DP.optimal.gykimo.cpp

http://download.csdn.net/detail/gykimo/4948959