《Algorithms》第7章：Linear programming and reductions 学习笔记

Chapter 7：Linear programming and reductions

1、任何一个线性规划问题都将涉及一组变量。我们的目的是找出这组变量的某种赋值，使得其同时满足下面两个条件：

• 满足一组由这些变量构成的线性方程或不等式
• 极大或极小化某个给定的线性目标函数

2、举例说明：

3、通常，目标函数的极值在可行区域的一个 顶点取到，在以下两种情况中没有极值：

4、求解线性规划的经典算法是单纯形算法。简单地说，该算法是从多边形的一个结点开始，然后重复寻找一个具有更高目标函数值的相邻结点。当空间维度增大到几十甚至几百时，对其图形化就越来越困难。如今已出现了很多专业化的应用软件包，实现了单纯形算法。

5、一个问题的解决可以用于另一个问题的解决就称为归约。如果解决某个计算任务Q的算法可以用于求解P，则我们说P可被归约到Q。

6、最大网络流问题

定义：给定一张有向图和每边能传输的最大容量，我们希望给每条边赋予一个变量f，使得流的规模（源流向汇的总流量）最大。

EG：

左图为每条边的最大容量。

解法一：最大流问题可以被归约为一个线性规划问题

举例来说，上图网络的LP共有11个变量，每条边1个；目标是使fsa+fsb+fsc的值最大；有27个约束条件，包括11个非负性条件(fsa >= 0)，11个容量条件(fsa <= 3)，5个流量守恒（除了s和t，每个节点一个，比如fsc+fdc=fce）

解法二：直接最大流算法

每次构造一个G’，然后利用线性时间的广度优先搜索在G‘中寻找s到t的一条可行的（能够继续提升容量的）路径，然后在G‘中把该路径反向，找不到任何这样的路径时算法停止。

算法演示：

7、最小分割最大流定理：网络中最大流的规模等于其中(s,t)分割的最小容量

8、二部图的匹配

下图中，左侧4个节点代表男孩，右侧四个节点代表女孩。如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，则意味着他们彼此喜欢。是否可能使得所有的男孩和女孩都两两匹配，并彼此喜欢？在图论中，这样的配对叫完美匹配。

以上问题可以被归约到最大流问题，所以它也是一个线性规划问题。

添加s和t，为边加上方向，赋予所有边的容量为1，于是存在一个男孩女孩完美匹配的充分必要条件是，新定义的图中存在一个规模与最终配对数相等的最大流。

9、Duality（对偶）

对于以下问题：

将第2个约束条件乘5， 加到第三个约束条件上，即可得到最优解1900

但（0,5,1）是怎么得到的？可以通过求原LP问题的对偶，以下是转化过程：

相加后：

可以得到下面的约束：

可以很容易得到下面的LP，即原问题的对偶：

用矩阵-向量形式表示原LP及其对偶：

10、对偶定理：如果一个线性规划的最优目标函数有界，则其对偶的最优目标函数值也有界。同时，二者的最优值相等。

11、电路值问题：

定义：when the laws of Boolean logic are applied to the gates in topological orderm does the output evaluate to true?