陶哲轩 实分析 第三章第一小节 习题解答

陶哲轩 实分析 第三章第一小节习题解答

3.1.1 证明集合相等的定义是自反、对称和传递的。

(1) 先证明自反性 A=A

xA,xA 所以 A=A

(2)对称性 若 A=B B=A

因为 A=B ,所以

xA,xBxB,xA

所以 B=A

(3)传递性 A=B,B=C A=C

因为 A=B ,所以

xA,xB

因为 B=C ,所以

xB,xC

所以

xA,xC

同理

xC,xA

所以 A=C

3.1.2 仅使用定义3.1.4 、定理 3.2、定理3.3 证明 ,{},{{}} 以及 {,{}} 全是不同的

(1) 先证明 与其他几个集合不同

{} 但是 所以 {}

{}{{}} 但是 {} 所以 {{}}

{}{,{}} 但是 {} 所以 {,{}}

(2) 证明 {} {{}} 以及 {,{}} 不同

{}{{}} 但是 {}{} 所以 {}{{}}

{}{,{}} 但是 {}{} 所以 {}{,{}}

(3) 证明 {{}}{,{}}

{,{}} 但是 {{}} 所以 {{}}{,{}}

3.1.3 证明引理 3.1.13 中未证明的结论

(1) 证明集合的并集运算是交换的 AB=BA

xAB 都有 xA xB ,所以 xBA

xBA 都有 xB xA ,所以 xAB

所以 AB=BA

(2) 证明 AA=A=A=A

xAA 都有 xA

xA 都有 xA 因此 xAA

所以:

AA=A

xA 都有 xA x ,有因为不存在任何对象 x 满足 x ,所以 xA

xA 都有 xA ,所以 xA

所以 A=A

同理 A=A

3.1.4 证明命题 3.1.18

(1) 如果 AB 同时 BA A=B

AB 表明 xAxB

BA 表明 xBxA

所以 A=B

(2) 证明 AB 同时 BC AC

AB 表明 xAxB

BC 表明 xBxC

所以 xAxC ,也就是 AC

AB 还表明至少存在一个 y 满足 yB,yA

因为 BC ,所以 yC

所以 yC 同时 yA

所以 AC

因为 AC 同时 AC

所以 AC

3.1.5 A 、B 是集合,证明三个命题 AB AB=B AB=A 是等价的

(1)证明 ABAB=B

首先 BAB ,因此只需证明 ABABB

AB

xA,xB

同时 xB,xB

所以 xA or xB,xB

ABB

(2)证明 AB=BAB

AB=B

xA 都有 xB

AB

至此,证明了 AB AB=B 等价。

(3)证明 ABAB=A

AB

xA,xB

xA,xB and xA

xA,xAB

AAB

另外,显然 ABA

所以 ABAB=A

(4)证明 AB=AAB

AB=A

xA 都有 xB

AB

至此,证明了 AB AB=A 等价。

因为 AB=A AB=B 都与 AB 等价。

所以 AB=A AB=B 等价。

3.1.6 证明命题 3.1.28

(a) 证明 A=A A=

由并集定义有 AA

xA 都有 xA x

所以 xA,xA

所以 AA

所以 A=A

由交集定义有 A

x,xA

所以 A

所以 A=

(b) 证明 AX=X AX=A

显然 XAX AXA

只需证明 AXX AAX

因为 AX

xA,xX

xAX,xX

AXX

因为 AA 同时 AX

所以 AAX

(c) 证明 AA=A AA=A

显然 AAA

xAA,xA 所以 AAA

所以 AA=A

显然 AAA

xA,xAA 所以 AAA

所以 AA=A

(d) 证明 AB=BA AB=BA

习题 3.1.3 已经证明 AB=BA

这里只证明 AB=BA

xAB,xA,xB 所以 xBA

所以 (AB)(BA)

xBA,xA,xB 所以 xAB

所以 (BA)(AB)

所以 AB=BA

(e) 证明 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)

书中已经证明了 (AB)C=A(BC) 这里只证明 (AB)C=A(BC)

x(AB)C 要同时满足 x(AB) xC

也就是要同时满足 xA xB xC

也就是要同时满足 xA xBC

也就是要满足 xA(BC)

所以 (AB)CA(BC)

类似的,也可证明 A(BC)(AB)C

所以 (AB)C=A(BC)

(f) 证明 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)

先证明 A(BC)=(AB)(AC)

xA(BC) 要满足 xA xBC

xA 同时 xB xC 要至少满足一个。分成两种情况。

(1) xA 同时 xBxABx(AB)(AC)

(2) xA 同时 xB 但是 xCxACx(AB)(AC)

所以 xA(BC)x(AB)(AC)

所以 A(BC)(AB)(AC)

x(AB)(AC)x(AB) x(AC)

x(AB) 时, xA(BC)

x(AC) 时, xA(BC)

所以 x(AB)(AC)xA(BC)

所以 (AB)(AC)A(BC)

所以 (AB)(AC)=A(BC)

类似方法可以证明 A(BC)=(AB)(AC)

(g) 证明 A(XA)=X A(XA)=

先证明 A(XA)=X

xA(XA)xA 或者 xXAxX

所以 A(XA)X

xXxA 或者 xXAxA(XA)

所以 XA(XA)

所以 A(XA)=X

再证明 A(XA)=

反证法,假设 A(XA) 则至少存在一个 x 满足 xA(XA)

x 分类讨论

(1) xAx(XA)xA(XA) 推出矛盾。

(2) x(XA)xAxA(XA) 推出矛盾。

所以 A(XA)=

(h) 证明 X(AB)=(XA)(XB) X(AB)=(XA)(XB)

先证明 X(AB)=(XA)(XB)

xX(AB)

x(AB)

xA 同时 xB

xXA 同时 xXB

x(XA)(XB)

所以 X(AB)(XA)(XB)

类似可证 (XA)(XB)X(AB)

所以 X(AB)=(XA)(XB)

证明 X(AB)=(XA)(XB)

xX(AB)

xAB

xA 或者 xB

xXA 或者 xXB

x(XA)(XA)

所以 X(AB)(XA)(XB)

类似的 (XA)(XB)X(AB)

所以 X(AB)=(XA)(XB)

3.1.7 证明方法类似,这里省略了

3.1.8 证明 A(AB)=A A(AB)=A

先证明 A(AB)=A

显然 A(AB)A

因此只需证明 AA(AB)

xA

xAB

xA(AB)

AA(AB)

所以 A(AB)=A

再证明 A(AB)=A

显然 AA(AB)

只需证明 A(AB)A

xA(AB)

xA 或者 x(AB)

其中 x(AB)xA

所以 xA(AB)xA

所以 A(AB)A

所以 A(AB)=A

3.1.9 AB=X,AB= 证明 A=XB,B=XA

因为 AB=

所以 xA,xB

所以 AXB

xXB

xX,xB

xAB,xB

xA

XBA

所以 XB=A

类似可证 B=XA

3.1.10 证明 AB AB BA 是不交的。他们的并是 AB

这里只证明他们的并是 AB

AB=(AB)B=(AB)(BA)(AB)

3.1.11 证明替换公理蕴涵分类公理

设分类公理中的命题为 P0(x)

那么可以构造替换公理中的命题 P(x,y) 为 当 P0(x) 为真且 y=x P(x,y) 为真。则这时替换公理获得的集合与分类公理获得的集合相同。

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