(1) 先证明自反性 A=A
∀x∈A,x∈A 所以 A=A
(2)对称性 若 A=B 则 B=A
因为 A=B ,所以
所以 B=A
(3)传递性 A=B,B=C 则 A=C
因为 A=B ,所以
因为 B=C ,所以
所以
同理
所以 A=C
(1) 先证明 ∅ 与其他几个集合不同
∅∈{∅} 但是 ∅∉∅ 所以 ∅≠{∅}
{∅}∈{{∅}} 但是 {∅}∉∅ 所以 ∅≠{{∅}}
{∅}∈{∅,{∅}} 但是 {∅}∉∅ 所以 ∅≠{∅,{∅}}
(2) 证明 {∅} 与 {{∅}} 以及 {∅,{∅}} 不同
{∅}∈{{∅}} 但是 {∅}∉{∅} 所以 {∅}≠{{∅}}
{∅}∈{∅,{∅}} 但是 {∅}∉{∅} 所以 {∅}≠{∅,{∅}}
(3) 证明 {{∅}}≠{∅,{∅}}
∅∈{∅,{∅}} 但是 ∅∉{{∅}} 所以 {{∅}}≠{∅,{∅}}
(1) 证明集合的并集运算是交换的 A∪B=B∪A
∀x∈A∪B 都有 x∈A 或 x∈B ,所以 x∈B∪A
∀x∈B∪A 都有 x∈B 或 x∈A ,所以 x∈A∪B
所以 A∪B=B∪A
(2) 证明 A∪A=A∪∅=∅∪A=A
∀x∈A∪A 都有 x∈A
∀x∈A 都有 x∈A 因此 x∈A∪A
所以:
A∪A=A
∀x∈A∪∅ 都有 x∈A 或 x∈∅ ,有因为不存在任何对象 x 满足 x∈∅ ,所以 x∈A
∀x∈A 都有 x∈A ,所以 x∈A∪∅
所以 A∪∅=A
同理 ∅∪A=A
(1) 如果 A⊆B 同时 B⊆A 则 A=B
A⊆B 表明 ∀x∈A⟹x∈B
B⊆A 表明 ∀x∈B⟹x∈A
所以 A=B
(2) 证明 A⊂B 同时 B⊂C 则 A⊂C
A⊂B 表明 ∀x∈A⟹x∈B
B⊂C 表明 ∀x∈B⟹x∈C
所以 ∀x∈A⟹x∈C ,也就是 A⊆C
A⊂B 还表明至少存在一个 y 满足 y∈B,y∉A
因为 B⊂C ,所以 y∈C
所以 y∈C 同时 y∉A
所以 A≠C
因为 A⊆C 同时 A≠C
所以 A⊂C
(1)证明 A⊆B⟹A∪B=B
首先 B⊆A∪B ,因此只需证明 A⊆B⟹A∪B⊆B
A⊆B
⟹∀x∈A,x∈B
同时 ∀x∈B,x∈B
所以 ∀x∈A or x∈B,x∈B
⟹A∪B⊆B
(2)证明 A∪B=B⟹A⊆B
A∪B=B
⟹∀x∈A 都有 x∈B
⟹A⊆B
至此,证明了 A⊆B 与 A∪B=B 等价。
(3)证明 A⊆B⟹A∩B=A
A⊆B
⟹∀x∈A,x∈B
⟹∀x∈A,x∈B and x∈A
⟹∀x∈A,x∈A∩B
⟹A⊆A∩B
另外,显然 A∩B⊆A
所以 A⊆B⟹A∩B=A
(4)证明 A∩B=A⟹A⊆B
A∩B=A
⟹∀x∈A 都有 x∈B
⟹A⊆B
至此,证明了 A⊆B 与 A∩B=A 等价。
因为 A∩B=A 和 A∪B=B 都与 A⊆B 等价。
所以 A∩B=A 和 A∪B=B 等价。
(a) 证明 A∪∅=A 和 A∩∅=∅
由并集定义有 A⊆A∪∅
∀x∉A 都有 x∉A 和 x∉∅
所以 ∀x∉A,x∉A∪∅
所以 A∪∅⊆A
所以 A∪∅=A
由交集定义有 ∅⊆A∩∅
∀x∉∅,x∉A∩∅
所以 A∩∅⊆∅
所以 A∩∅=∅
(b) 证明 A∪X=X 和 A∩X=A
显然 X⊆A∪X , A∩X⊆A
只需证明 A∪X⊆X 和 A⊆A∩X
因为 A⊆X
⟹∀x∈A,x∈X
⟹∀x∈A∪X,x∈X
⟹A∪X⊆X
因为 A⊆A 同时 A⊆X
所以 A⊆A∩X
(c) 证明 A∪A=A 和 A∩A=A
显然 A⊆A∪A
∀x∈A∪A,x∈A 所以 A∪A⊆A
所以 A∪A=A
显然 A∩A⊆A
∀x∈A,x∈A∩A 所以 A⊆A∪A
所以 A∩A=A
(d) 证明 A∩B=B∩A 和 A∪B=B∪A
习题 3.1.3 已经证明 A∪B=B∪A
这里只证明 A∩B=B∩A
∀x∈A∩B,x∈A,x∈B 所以 x∈B∩A
所以 (A∩B)⊆(B∩A)
∀x∈B∩A,x∈A,x∈B 所以 x∈A∩B
所以 (B∩A)⊆(A∩B)
所以 A∩B=B∩A
(e) 证明 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 和 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
书中已经证明了 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 这里只证明 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
∀x∈(A∩B)∩C 要同时满足 x∈(A∩B) 和 x∈C
也就是要同时满足 x∈A 、 x∈B 和 x∈C
也就是要同时满足 x∈A 和 x∈B∩C
也就是要满足 x∈A∩(B∩C)
所以 (A∩B)∩C⊆A∩(B∩C)
类似的,也可证明 A∩(B∩C)⊆(A∩B)∩C
所以 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(f) 证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 和 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
先证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
∀x∈A∩(B∪C) 要满足 x∈A 和 x∈B∪C
x∈A 同时 x∈B 和 x∈C 要至少满足一个。分成两种情况。
(1) x∈A 同时 x∈B⟹x∈A∩B⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)
(2) x∈A 同时 x∉B 但是 x∈C⟹x∈A∩C⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)
所以 ∀x∈A∩(B∪C)⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)
所以 A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C)
∀x∈(A∩B)∪(A∩C)⟹x∈(A∩B) 或 x∈(A∩C)
当 x∈(A∩B) 时, x∈A∩(B∪C)
当 x∈(A∩C) 时, x∈A∩(B∪C)
所以 ∀x∈(A∩B)∪(A∩C)⟹x∈A∩(B∪C)
所以 (A∩B)∪(A∩C)⊆A∩(B∪C)
所以 (A∩B)∪(A∩C)=A∩(B∪C)
类似方法可以证明 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
(g) 证明 A∪(X∖A)=X 和 A∩(X∖A)=∅
先证明 A∪(X∖A)=X
∀x∈A∪(X∖A)⟹x∈A 或者 x∈X∖A⟹x∈X
所以 A∪(X∖A)⊆X
∀x∈X⟹x∈A 或者 x∈X∖A⟹x∈A∪(X∖A)
所以 X⊆A∪(X∖A)
所以 A∪(X∖A)=X
再证明 A∩(X∖A)=∅
反证法,假设 A∩(X∖A)≠∅ 则至少存在一个 x 满足 x∈A∩(X∖A)
对 x 分类讨论
(1) x∈A⟹x∉(X∖A)⟹x∉A∩(X∖A) 推出矛盾。
(2) x∈(X∖A)⟹x∉A⟹x∉A∩(X∖A) 推出矛盾。
所以 A∩(X∖A)=∅
(h) 证明 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B) 和 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)
先证明 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)
∀x∈X∖(A∪B)
⟹x∉(A∪B)
⟹x∉A 同时 x∉B
⟹x∈X∖A 同时 x∈X∖B
⟹x∈(X∖A)∩(X∖B)
所以 X∖(A∪B)⊆(X∖A)∩(X∖B)
类似可证 (X∖A)∩(X∖B)⊆X∖(A∪B)
所以 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)
证明 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)
∀x∈X∖(A∩B)
⟹x∉A∩B
⟹x∉A 或者 x∉B
⟹x∈X∖A 或者 x∈X∖B
⟹x∈(X∖A)∪(X∖A)
所以 X∖(A∩B)⊆(X∖A)∪(X∖B)
类似的 (X∖A)∪(X∖B)⊆X∖(A∩B)
所以 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)
先证明 A∩(A∪B)=A
显然 A∩(A∪B)⊆A
因此只需证明 A⊆A∩(A∪B)
∀x∈A
⟹x∈A∪B
⟹x∈A∩(A∪B)
⟹A⊆A∩(A∪B)
所以 A∩(A∪B)=A
再证明 A∪(A∩B)=A
显然 A⊆A∪(A∩B)
只需证明 A∪(A∩B)⊆A
∀x∈A∪(A∩B)
⟹x∈A 或者 x∈(A∩B)
其中 x∈(A∩B)⟹x∈A
所以 ∀x∈A∪(A∩B)⟹x∈A
所以 A∪(A∩B)⊆A
所以 A∪(A∩B)=A
因为 A∩B=∅
所以 ∀x∈A,x∉B
所以 A⊆X∖B
∀x∈X∖B
⟹x∈X,x∉B
⟹x∈A∪B,x∉B
⟹x∈A
⟹X∖B⊆A
所以 X∖B=A
类似可证 B=X∖A
这里只证明他们的并是 A∪B
A∪B=(A∖B)∪B=(A∖B)∪(B∖A)∪(A∩B)
设分类公理中的命题为 P0(x)
那么可以构造替换公理中的命题 P(x,y) 为 当 P0(x) 为真且 y=x 时 P(x,y) 为真。则这时替换公理获得的集合与分类公理获得的集合相同。