几个经典的博弈

一）巴什博奕（ Bash Game ）：只有一堆 n 个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取 m 个。最后取光者得胜。

 

显然，如果 n=m+1 ，那么由于一次最多只能取 m 个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果 n= （ m+1 ） r+s ，（ r 为任意自然数， s ≤ m), 那么先取者要拿走 s 个物品，如果后取者拿走 k （≤ m) 个，那么先取者再拿走 m+1-k 个，结果剩下（ m+1 ）（ r-1 ）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（ m+1 ）的倍数，就能最后获胜。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到 100 者胜。

 

 

（二）威佐夫博奕（ Wythoff Game ）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

这种情况下是颇为复杂的。我们用（ ak ， bk ）（ ak ≤ bk ,k=0 ， 1 ， 2 ， ...,n) 表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（ 0 ， 0 ），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（ 0 ， 0 ）、（ 1 ， 2 ）、（ 3 ， 5 ）、（ 4 ， 7 ）、（ 6 ， 10 ）、（ 8 ， 13 ）、（ 9 ， 15 ）、（ 11 ， 18 ）、（ 12 ， 20 ）。

可以看出 ,a0=b0=0,ak 是未在前面出现过的最小自然数 , 而 bk= ak + k ，奇异局势有

如下三条性质：

 

1 。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

由于 ak 是未在前面出现过的最小自然数，所以有 ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质 1 。成立。

2 。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

事实上，若只改变奇异局势（ ak ， bk ）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ ak ， bk ）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。

3 。采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。

 

假设面对的局势是（ a,b ），若 b = a ，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（ 0 ， 0 ）；如果 a = ak ， b > bk ，那么，取走 b - bk 个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk , 则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak 个物体 , 变为奇异局势（ ab - ak , ab - ak+ b - ak ）；如果 a > ak ， b= ak + k, 则从第一堆中拿走多余的数量 a - ak 即可；如果 a < ak ， b= ak + k, 分两种情况，第一种， a=aj （ j < k ） , 从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种， a=bj （ j < k ） , 从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

 

从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。

 

那么任给一个局势（ a ， b ），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k （ 1+ √ 5 ） /2] ， bk= ak + k （ k=0 ， 1 ， 2 ， ...,n 方括号表示取整函数 )

奇妙的是其中出现了黄金分割数（ 1+ √ 5 ） /2 = 1 。 618..., 因此 , 由 ak ， bk 组成的矩形近似为黄金矩形，由于 2/ （ 1+ √ 5 ） = （√ 5-1 ） /2 ，可以先求出 j=[a （√ 5-1 ） /2] ，若 a=[j （ 1+ √ 5 ） /2] ，那么 a = aj ， bj = aj + j ，若不等于，那么 a = aj+1 ， bj+1 = aj+1+ j + 1 ，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

 

（三）尼姆博奕（ Nimm Game ）：有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

 

这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（ a ， b ， c ）表示某种局势，首先（ 0 ， 0 ， 0 ）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是（ 0 ， n ， n ），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（ 0 ， 0 ， 0 ）。仔细分析一下，（ 1 ， 2 ， 3 ）也是奇异局势，无论对手如何拿，接下来都可以变为（ 0 ， n ， n ）的情形。

 

计算机算法里面有一种叫做按位模 2 加，也叫做异或的运算，我们用符号（ + ）表示这种运算。这种运算和一般加法不同的一点是 1+1=0 。先看（ 1 ， 2 ， 3 ）的按位模 2 加的结果：

 

1 = 二进制 01

2 = 二进制 10

3 = 二进制 11 （ + ）

———————

0 = 二进制 00 （注意不进位）

 

对于奇异局势（ 0 ， n ， n ）也一样，结果也是 0 。

 

任何奇异局势（ a ， b ， c ）都有 a （ + ） b （ + ） c =0 。

 

如果我们面对的是一个非奇异局势（ a ， b ， c ），要如何变为奇异局势呢？假设 a < b< c, 我们只要将 c 变为 a （ + ） b, 即可 , 因为有如下的运算结果 : a （ + ） b （ + ） (a （ + ） b)=(a （ + ） a) （ + ） (b （ + ） b)=0 （ + ） 0=0 。要将 c 变为 a （ + ） b ，只要从 c 中减去 c- （ a （ + ） b ）即可。

 

例 1 。（ 14 ， 21 ， 39 ）， 14 （ + ） 21=27 ， 39-27=12 ，所以从 39 中拿走 12 个物体即可达到奇异局势（ 14 ， 21 ， 27 ）。

 

例 2 。（ 55 ， 81 ， 121 ）， 55 （ + ） 81=102 ， 121-102=19 ，所以从 121 中拿走 19 个物品就形成了奇异局势（ 55 ， 81 ， 102 ）。