数论经典题目

题目一：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2866

 

题意：在区间[2,L]内，有多少个素数p，满足方程有解。

 

分析：n^b + p*n^(b-1) = m^b   ==>   n^(b-1)*[n+p]=m^b

因为n里面要么有p因子，要么没有，所以gcd(n^(b-1),n+p)=1或(含有p因子的数)

当gcd(n^(b-1),n+p)== (含有p因子的数)的时候，显然无解，因为假设有解，那么n=K*p , K^(b-1)*p^b*(K+1)

如果希望上面的==m^b,那么K^(b-1) *(K+1)必须能表示成某个数X的b次方，而gcd(K,K+1)=1,所以他们根本就没共同因

子，所以没办法表示成X的b次方，所以gcd(n^(b-1),n+p)=1

 

假设n=x^b，n+p=y^b，那么显然m=x^(b-1)*y，而p=y^b-x^b

 

显然(y-x)|p，那么必须有y-x=1，所以y=x+1，代上去就发现，p=(x+1)^b-x ^b。所以枚举x,然后判断p是否是素数即可。

 

 

题目四：http://acm.tzc.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=3012

 

题意：f[1]=1,f[2]=2,f[n]=f[n-1]+f[n-2],定义：，求

 

通过构造矩阵可以解决：

 

 

然后有：降幂即可。

 

 

 

题目五：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3988

 

题意：给两个数n和k，找一个最大的i使得k^i能整除n!。这里的n与k都很大，10^18

分析：直接对K素因子分解，然后对于每一个素因子，找出在n!中的个数，然后对应相除，找最小的即可。

n！中素因子p的个数一定不会超过LL，这个可以由等比公式求和证明，然后直接素因子分解解决。

 

 

 

题目六：http://poj.openjudge.cn/practice/1046/

 

题意：给定正整数b，求最大的整数a，满足a*(a+b)为完全平方数，1 <= b <= 10^9

 

分析：设a，b的最大公约数为g，则g=gcd(a,b)=gcd(a,a+b)

那么有a*(a+b)=g^2*a1*(a1+b1)，其中a1与b1互素，由于要为完全平方数，所以可以设x^2=a1，y^2=a1+b1  

进而推出：b1=y^2-x^2=(y-x)*(y+x)

 

现在我们令n=y+x，m=y-x，很明显n>m，由于a1与a1+b1互素，所以有gcd(x^2,y^2)=1，进而有gcd(x,y)=1

 

所以本题就可以这样做：先求出b的所有约数，这样g就等于b/(b的约数)，然后又分别求出b的约数的约数，假设为arr2[j]，

由于n>m，我们只需要枚举到sqrt(arr1[i])即可，然后解出x=(n-m)/2，y=(n+m)/2，但是前提是要保证都能整除，然后再

判断gcd(x,y)=1,两层for循环，记录最大值即可。由于因子一般不会很多，所以没有问题。

 

 

 

题目七：2013年通化邀请赛E题

题意：给三个数x,y,z的最大公约数gcd，最小公倍数lcm . 然后求满足的x,y,z有多少种可能。（1,3,2） 和 （1,2,3）被

视为不同。

 

分析：

首先lcm%gcd == 0是必须的，否则无解。

然后将tmp = lcm/gcd 进行因式分解。假设其中有一个质因子p1的幂为e1，那么着三个数中至少有一个含有p1，至少有一个

不含p1 。如果都含有p1的话他就被分到最大公约数里面去了，不会在tmp里面，如果不含有p1的话，那么p1就一定不会存在

了。

 

那么对于质因子p1来说 如果有两个含有他的话那么结果为A(3,2)*(e1 - 1)  e1可以分成x ,y (x+y = e1 x!=0 && y !

= 0)，如果有一个含有它的话那么必定是含有p1^e1次方。如果不是p1^e1次方的话，那么tmp里面的p1的幂也就不是e1了。

 

 

 

题目八：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098

 

题意：对于f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x，给定k，求最小的正整数a满足65|f(x)

 

对f(x)=x(5*x^12+13*x^4+k*a)用费马小定理定理分析：

（1）如果x是65的倍数，那么已经符合65整除f(x)

（2）如果x是5的倍数，只要5*x^12+13*x^4+k*a被13整除即可，去掉13的倍数13*x^4，也即5*x^12+k*a被13

     整除，由费马小定理，5与13互质，13是质数，所以x^(13-1)模13余1，

     所以5*x^12模13余5，要使5*x^12+k*a被13整除，k*a必须模13余8(k*a≡8(mod 13))

（3）如果x是13的倍数，类似（2），需要13*x^4+k*a被5整除，由费马小定理类似得到x^4模5余1，所以

     13*x^4模5余3，k*a必须模5余2(k*a≡2(mod 5))

（4）如果x不含5和13这两个因子，则需要5*x^12+13*x^4+k*a被65整除了，等价于既要被5整除，又要被13整

     除，就相当于以上(2)(3)两种情况的条件要同时满足，所以有k*a≡2(mod 5) 并且 k*a≡8(mod 13)

     然后中国剩余定理。

 

 

题目十：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3802

 

题意：求表达式的值，p是奇素数。

 

分析：前面部分用二次剩余计算勒让德符号即可，后面部分构造矩阵即可。

 

即：

 

那么根据特征根为和构造类似斐波那契数列。

 

得到：