矩阵的特征值和特征向量

第五章 矩阵的特征值和特征向量

^{来源：线性代数精品课程组    作者：线性代数精品课程组}

1．教学目的和要求：

(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.

(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.

(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.

2．教学重点：

(1) 会求矩阵的特征值与特征向量.

(2) 会将矩阵化为相似对角矩阵.

3．教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.

4．教学内容：

 

本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.

                

§1 矩阵的特征值和特征向量

 

定义1  设是一个阶方阵，是一个数，如果方程

                                                               (1)

存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．

   （1）式也可写成，

                                                           (2)

这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

                         ,                                    (3)

 即                            

     上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程． 其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．

      ==  

           =

显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．

设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明

（ⅰ）

（ⅱ）

若为 的一个特征值，则一定是方程的根, 因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程 的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

     第一步：计算的特征多项式；

     第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

     第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

                      

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是

          　　（其中是不全为零的任意实数）．

例1 　求的特征值和特征向量.

解  的特征多项式为

=

所以的特征值为

     当=2时，解齐次线性方程组得

解得令=1，则其基础解系为：=

因此，属于=2的全部特征向量为：.

当=4时，解齐次线性方程组得令=1，

则其基础解系为：因此的属于=4的全部特征向量为

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.

 

例2 　求矩阵

          的特征值和特征向量.

解 的特征多项式为

          == ，

所以的特征值为==2（二重根），.

对于==2，解齐次线性方程组．由

        ，

得基础解系为：    

因此，属于==2的全部特征向量为：不同时为零.

对于，解齐次线性方程组．由

         ，

         得基础解系为：

因此，属于的全部特征向量为：

由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：

 

定理1 　属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

证明 　设是矩阵的不同特征值，而分别是属于的特征向量，要证是线性无关的.我们对特征值的个数作数学归纳法证明.

当时,由于特征向量不为零,所以结论显然成立.

当＞1时,假设时结论成立.

由于是的不同特征值,而是属于的特征向量,因此

               　　　　   

如果存在一组实数使

                                           (3)

则上式两边乘以得

                                    (4)

另一方面,       ,即

                                    (5)

(4)－(5)有

     

由归纳假设,  线性无关,因此

              

而互不相同,所以．于是(3)式变为.

因,于是．可见线性无关．

课后作业：习题五　５－12

 

§２  相似矩阵

 

定义2  设、都是阶方阵，若存在满秩矩阵， 使得

                    　　　

则称与相似，记作 ，且满秩矩阵称为将变为的相似变换矩阵．

“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：

⑴ 反身性：～ ；

⑵ 对称性：若 ～ ，则～ ；

⑶ 传递性：若～， ～ ，则～． 

相似矩阵还具有下列性质：

 

定理2  相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.

证明　　设～， 则存在满秩矩阵，使

于是

       

推论  若阶矩阵与对角矩阵

                相似，则即是的个特征值．

定理3 设是矩阵的属于特征值的特征向量,且~,即存在满秩矩阵使,则是矩阵的属于的特征向量．

证明  因是矩阵的属于特征值的特征向量，则有

                

于是

            

所以是矩阵的属于的特征向量．

下面我们要讨论的主要问题是：对阶矩阵，寻求相似变换矩阵，使

为对角矩阵，这就称为把方阵对角化．

定理4 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有

个线性无关的分别属于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．

证明　　　必要性

    设与对角矩阵相似，则存在满秩矩阵，使

                 =

设则由上式得

                     

即

         ，

因此

                 

所以是的特征值，是的属于的特征向量，又因是满秩的，

故        线性无关.

      充分性

   如果有个线性无关的分别属于特征值的特征向量，

则有

                    

设则是满秩的，于是

            ，

即

               =

[注]：由定理4，一个阶方阵能否与一个阶对角矩阵相似，关键在于它是否有个线性无关的特征向量．

（1）如果一个阶方阵有个不同的特征值，则由定理1可知，它一定有个线性无关的特征向量，因此该矩阵一定相似于一个对角矩阵．.

（2）如果一个阶方阵有个特征值（其中有重复的），则我们可分别求出属于每个特征值的基础解系，如果每个重特征值的基础解系含有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个对角矩阵相似.否则该矩阵不与一个对角矩阵相似．

可见，如果一个阶方阵有个线性无关的特征向量，则该矩阵与一个阶对角矩阵相似，并且以这个线性无关的特征向量作为列向量构成的满秩矩阵，使为对角矩阵，而对角线上的元素就是这些特征向量顺序对应的特征值．

 

例3　 设矩阵，求一个满秩矩阵，使为对角矩阵．

解  的特征多项式为

     

所以的特征值为.

对于 解齐次线性方程组，得基础解系

，即为的两个特征向量

对于=2，解齐次线性方程组，得基础解系

            ，即为的一个特征向量.

     显然是线性无关的，取

             ，

即有

             .

例4    设

              ，考虑是否相似于对角矩阵．

解

       

所以的特征值为.

对于 解齐次线性方程组，得基础解系

即为一个特征向量，

对于，解齐次线性方程组，得基础解系

，即为的另一个特征向量.

    由于只有两个线性无关的特征向量，因此不能相似于一个对角矩阵．

课后作业：习题五 13－16

 

§３  向量组的正交性

 

在解析几何中，二维、三维向量的长度以及夹角等度量性质都可以用向量的内积来表示，现在我们把内积推广到维向量中．

定义3  设有维向量，，令

    =，则称为向量和的内积．

[注]：内积是向量的一种运算，若用矩阵形式表示，当和是行向量时，＝，当和都是列向量时，＝．

内积具有下列性质（其中为维向量，为常数）：

（1）=；

（2）=；

（3）=+；

（4），当且仅当=0时等号成立．

定义4  令

                    ||=

称||为维向量的模（或长度）．

 

向量的模具有如下性质：

（1）当≠0时，||＞0；当=0时，||=0；

（2）||=|| ||，（为实数）；

（3）||≤||||；

（4）|≤||+||；

特别地，当||=1时，称为单位向量.

如果||≠0，由性质（2），向量是一个单位向量．可见，用向量的模去除向量，可得到一个与同向的单位向量，我们称这一运算为向量的单位化，或标准化．

     如果、都为非零向量，由性质（3）

                    ≤1，

于是有下述定义：

定义5  当|| ≠0，||≠0时

               　称为维向量、的夹角．

特别地：当=0时，，因此有

定义  当=0时，称向量与正交．（显然，若=0，则与任何向量都正交）．

向量的正交性可推广到多个向量的情形.

定义6   已知个非零向量，若=0 ，则称为正交向量组．

定义7 若向量组为正交向量组，且||=1，则称　为标准正交向量组．

例如，维单位向量组=，，

是正交向量组．

正交向量组有下述重要性质：

定理5  正交向量组是线性无关的向量组．

定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组．

定理6　设向量组线性无关，由此可作出含有个向量的正交向量组，其中，

      ，

      ，

      ……

      .

再取

                      

则为标准正交向量组．

上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价．

例5  把向量组=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化为标准正交向量组．

解 　容易验证，，是线性无关的.

将，，正交化，令

=，

=，

再把单位化

             ，

             

             

则即为所求的标准正交向量组．

定理7 若是维正交向量组，，则必有维非零向量，使

，成为正交向量组．

推论  含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加个维

非零向量，构成含有个向量的维正交向量组．

例6 已知，求一组非零向量，使，，成为正交向量组.

解    应满足方程=0，即

                     .

它的基础解系为

                  

把基础解系正交化，即为所求．亦即取

                 

其中于是得

          

定义8 如果阶矩阵满足（即），那么称为正交矩阵．

正交矩阵具有如下性质：

（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是；

（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；

（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵；

（4）正交矩阵是满秩的，且|=1或．

 由等式  可知，正交矩阵的元素满足关系式

           　（其中）

可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有

 

定理8  一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交向量组．

课后作业：习题五 1－4

 

§４ 实对称矩阵的相似对角化

 

在§２中，我们讨论了相似矩阵的概念和性质以及一般的阶矩阵与对角矩阵相似的问题．本节将进一步讨论用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵的问题．为此首先给出下面几个定理．

定理9 　实对称矩阵的特征值恒为实数．从而它的特征向量都可取为实向量．

定理10　实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的．

证明　 设是实对称矩阵的两个不同的特征值，即． 是分别属于的特征向量，则

                     ，

根据内积的性质有

            ，

又    　    

所以

                 ，

因 ，故 ，即与 正交.

定理11　设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量．

定理12　 设为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵．

    

例7 设 求一个正交矩阵，使为对角矩阵.

解  ，

所以的特征值，.

     对于，解齐次线性方程组，得基础解系

                  ，

因此属于的标准特征向量为

                   .

    对于，解齐次线性方程组，得基础解系

                     

这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于的标准正交向量

            ，      .

于是得正交矩阵

                   

易验证

                   .

                                                                                            

课后作业：习题五 17