TSP 路径构造算法（tour construction algorithm）详解

TSP 路径构造算法（tour construction algorithm）

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前言：Tsp是经典的NP问题之一，其现实意义也是不言而喻的。该问题的研究很有些年头了，现在多集中于新型智能算法，如模拟退火，禁忌搜索，蚁群算法，粒子群算法，遗传算法等。这些算法虽很有效，但使用良好的初始解得时候，效果会更优。本文系统介绍并详细讲解了前辈们的关于构建优良TSP路径的启发式(heuristic)算法，可以为前面提到的智能算法提供优秀的初始解。而这些算法本身就是TSP的近似解算法，独立使用这些算法的效果也是很好的。

 

Tsp的经典解决方案的流程是:

一：使用路径构造算法（tour construction algorithm）构造初始解

二：使用路径优化算法（tour construction algorithm）改善当前解

本文介绍路径构造算法，优化算法将在另外一篇文章中介绍

 

一般用来构造很好的启发路径，可以作为其他算法（蚁群算法，遗传算法等）的初始解

常见的有以下几种构造算法：

1           最邻近算法（nearest neighbor algorithm）

2           贪婪算法（greedy algorithm）

3           Clark&Wright 算法

4           插入算法（insertion algorithm）

4.1          最邻近插入（nearest insertion）

4.2          最小代价插入（cheapest insertion）

4.3          任意插入（arbitrary insertion）

4.4          最远插入（farthest insertion）

4.5          凸包插入（connex hull insertion）

5           双生成树算法（double spanning tree algorithm）

6           Christofides 算法

 

 

下面一一介绍其算法实现过程，这些算法都是很老的算法了，网上比较少见了，相关论文中也都是一笔带过。这是笔者整理所得，有摘录，有重新组织，有翻译，希望对您有益。

 

1 最邻近算法（nearest neighbor algorithm）

时间复杂度：O(n^2)

       Step 1：选任一点为起始节点

       Step 2：找到距离最新加入路径最近的点，将其加入路径

       Step 3：重复Step 2，直至所以点都加入到路径中，连接最后的点和最初的点

 

2 贪婪算法（greedy algorithm）

时间复杂度：O(n^2*log2(n))

       Step 1：给所有边按长度排序

       Step 2：选择最短的满足条件的边加入到路径中。条件：不会构成小于N条边的环路

       Step 3：重复Step 2，直至路径中有N条边。

 

3 Clark&Wright 算法

时间复杂度：O(n^2)

       Step 1：任选一点作为中心结点，索引为 1（假设城市下标从 1 开始）

      Step 2：计算所有的费用 C[i][j]=Distance[i][1]+Distance[1][j],(i,j=2,3,…,N)

       Step 3：将费用表C从大到小排序

       Step 4：从费用表C的顶端开始向下，一次将可以连接的路径（i,j）连接，直至形成完整路径

 

4 插入算法（insertion algorithm）

都是在已有的子路径上加入新的点形成更大的图，直至包含所有点。不同的是选择点和插入点的策略

4.1 最邻近插入（nearest insertion）

时间复杂度：O(n^2)

       Step 1：任选一个点 i，作为子路径（只包含一个结点的子路径）

       Step 2：找到距离i最近的点r，形成子路径 i-r-i

       Step 3：选择。找到不在子路径中的点r，使它到子路径中的点的最小距离是所有不在子路径中的点到子路径中的点的最小距离中最小的。这个距离是连接这两类点的最小距离

       Step 4：插入。在子路径中找到这样一条边（i，j），使Distance[i][r]+Distance[r][j]-Distance[i][j]最小。将r插入到i和j中间

       Step 5：执行Step 3，直到所有点都加入到了路径中

 

4.2 最小代价插入（cheapest insertion）

时间复杂度：O(n^2*lg(n))

Step 1：任选一个点 i，作为子路径（只包含一个结点的子路径）

       Step 2：找到距离i最近的点r，形成子路径 i-r-i

       Step 3：找到在子路径中的点i，j，和不在子路径中的点r，使得Distance[i][r]+Distance[r][j]-Distance[i][j]最小。将r插入到i和j中间

       Step 4：重复Step 3，直至所有点都加入路径

      

       前两步和最邻近插入是一样的

      

 

4.3 任意插入（arbitrary insertion）

时间复杂度：O(n^2)

Step 1：任选一个点 i，作为子路径（只包含一个结点的子路径）

       Step 2：找到距离i最近的点r，形成子路径 i-r-i

       Step 3：选择任意不在子路径中的点插入到子路径

       Step 4：重复Step 3，直至所有点加入到子路径

 

       前两步和最邻近插入是一样的

 

 

4.4 最远插入（farthest insertion）

时间复杂度：O(n^2)

Step 1：任选一个点 i，作为子路径（只包含一个结点的子路径）

       Step 2：找到距离i最远的点r，形成子路径 i-r-i

       Step 3：选择。找到不在子路径中的点r，使它到子路径中的点的最大距离是所有不在子路径中的点到子路径中的点的最大距离中最大的。这个距离是连接这两类点的最大距离

       Step 4：插入。在子路径中找到这样一条边（i，j），使Distance[i][r]+Distance[r][j]-Distance[i][j]最小。将r插入到i和j中间

       Step 5：执行Step 3，直到所有点都加入到了路径中

 

 

4.5 凸包插入（connex hull insertion）

时间复杂度：O(n^2*lg(n))

       Step 1：构造凸包，并将它作为最初的子路径

       Step 2：对于所有不在子路径中的点r，找到其相应的在子路径中的点i，j，使得Distance[i][r]+Distance[r][j]-Distance[i][j]最小

       Step 3：对于Step 2中找到的所有（i，j，0r），找到使（Distance[i][r]+Distance[r][j]）/Distance[i][j]最小的那一组，将这组的r插入到i和j中间

       Step 4：回到Step 2，直到所有的点都加入到路径中

 

解释：    凸包（connex hull）是包含所有点的最小的多边形

如图：

 

5 双生成树算法（double spanning tree algorithm）

时间复杂度：O(n^2)

       Step 1：由城市的点集构造最小生成树

       Step 2：重复所有的边，由此容易构造出Euler回路

       Step 3：去除Euler回路中的重复点，形成回路解

 

6 Christofides 算法

时间复杂度：O(n^3)

       Christofides 算法由双生成树算法改进而来，使最坏解在最优解的1.5倍之内，而双生成树算法的最坏解在最优解的2倍之内

      

       Step 1：由城市的点集构造最小生成树MST

       Step 2：在最小生成树的奇顶点创建最小权匹配（minimum-weight matching ,MWM），将MWM添加到MST

       Step 3：从合并后的图中构造Euler回路

       Step 4：去除Euler回路中的重复点，形成回路解

 

 

 

      

Reference：

Christian Nilsson.Heuristics for the Traveling Salesman Problem.Link¨oping University

http://www2.isye.gatech.edu/logisticstutorial/vehicle/tsp/tsp003__.htm

兰兆青.Hopfield神经网络在TSP问题中的应用.中北大学