【编程之美】24点游戏

转自：http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7713640

一，概述

        二十四点是一种益智游戏，它能在游戏中锻炼人们的心算，它往往要求人们将四个数字进行加减乘除（允许使用括号）求得二十四。然后将四个数字的计算公式表示出来。

二，中缀表达式求解

         最直接的方法就是采用穷举法，游戏中可用的运算符只有四种，四个数字每个只能使用一次。

         1）不考虑括号情况

                4个数全排列：4！=24种

                需要三个运算符，且运算符可以重复：4*4*4=64

                总计：1536

         2）考虑括号（是个难点）

                自己想的加括号：四个数有五种加括号方式：  (AB)CD  、 AB(CD)、 A(BC)D 、 A((BC)D) 、 (AB)(CD)、A(B(CD))

                 错误点：这里添加括号的时候，需要把四个数都看成相乘。需要加两个括号来列举比较直观

                                  AB(CD)  =   (AB)(CD)

                 改正后：((AB)C)D  、 (AB)(CD) 、 (A(BC))D 、 A((BC)D) 、A(B(CD))

                         

                四个运算数五种不同加括号方式的由来。这是一个经典的Catalan数问题。

                这个经典Catalan数问题在组合数学教材上都能找到。原题目是：n 个数相乘, 不改变它们的位置, 只用括号表示不同的相乘顺序，令g(n)表示这种条件下构成不同乘积的方法数，令C(n)表示第n个Catalan数。则有g(n)=C(n-1)。前几个Catalan数为：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。

                根据Catalan数的计算公式，有g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。

                Catalan数的计算公式也同时提供了构造答案的方法。对于4个数，中间有3个位置，可以在任何一个位置一分为二，被分开的两半各自的加括号方案再拼凑起来就得到一种4个数的加括号方案：

一个数时：(A)，一种

两个数：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一种

三个数：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，两种

四个数：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)

                 =(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)

                 =A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D

         共有五种。于是写代码枚举这五种加括号的方式即可。这种方法只是一种能得到正确答案的方法，扩展性和效率都极差。而且生成的表达式中也有冗余括号。

 #include <iostream>
 #include <cmath>
 using namespace std;

 const double Threshold = 1E-6;
 const int CardsNumber = 4;
 const int ResultValue = 24;
 double number[CardsNumber];
 string result[CardsNumber];

 bool PointsGame(int n)
 {
      if(n == 1)
      {
           // 由于浮点数运算会有精度误差，所以用一个很小的数1E-6来做容差值
           // 本书2.6节中讨论了如何将浮点数转化为分数的问题
           if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)//结果等于24
           {
                cout << result[0] << endl;//输出表达式
                return true;
           }
           else
           {
                return false;
           }
      }

      for(int i = 0; i < n; i++)//第一个数(计算时被两个数结果替换)
      {
           for(int j = i + 1; j < n; j++)//第二个数(计算时候被最后一个数替换)
           {
                double a, b;//存放计算的数
                string expa, expb;//存放表达式中两个数

                a = number[i];
                b = number[j];
                number[j] = number[n - 1];//去除第二个数

                expa = result[i];
                expb = result[j];
                result[j] = result[n - 1];//表达式去除

                result[i] = '(' + expa + '+' + expb + ')';
                number[i] = a + b;//去除第一个数
                if(PointsGame(n - 1))
                     return true;

                result[i] = '(' + expa + '-' + expb + ')';
                number[i] = a - b;
                if(PointsGame(n - 1))
                     return true;

                result[i] = '(' + expb + '-' + expa + ')';
                number[i] = b - a;
                if(PointsGame(n - 1))
                     return true;

                result[i] = '(' + expa + '*' + expb + ')';
                number[i] = a * b;
                if(PointsGame(n - 1))
                     return true;

                if(b != 0)
                {
                     result[i] = '(' + expa + '/' + expb + ')';
                     number[i] = a / b;
                     if(PointsGame(n - 1))
                          return true;
                }
                if(a != 0)
                {
                     result[i] = '(' + expb + '/' + expa + ')';
                     number[i] = b / a;
                     if(PointsGame(n - 1))
                          return true;
                }

                number[i] = a;//将本次循环的结果消除，继续测试下一对数
                number[j] = b;
                result[i] = expa;
                result[j] = expb;
           }
      }
      return false;
 }

 int main()
 {
     int x;
     for(int i = 0; i < CardsNumber; i++)
     {
          char buffer[20];
          cout << "the " << i << "th number:";
          cin >> x;
          number[i] = x;
          itoa(x, buffer, 10);
          result[i] = buffer;
     }
     if(PointsGame(CardsNumber))
     {
          cout << "Success." << endl;
     }
     else
     {
          cout << "Fail." << endl;
     }
 }

三，分支限界法求解

 #include <iostream>
 #include <set>
 #include <string>
 #include <cmath>
 using namespace std;

 #define N   4   // 4张牌，可变
 #define RES 24  // 运算结果为24，可变
 #define EPS 1e-6

 struct Elem
 {
     Elem(double r, string& i):res(r),info(i){}
     Elem(double r, char* i):res(r),info(i){}
     double res; // 运算出的数据
     string info; // 运算的过程
     bool operator<(const Elem& e) const
     {
         return res < e.res; // 在set的红黑树插入操作中需要用到比较操作
     }
 };

 int A[N];   // 记录N个数据
 // 用二进制数来表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3个数
 set<Elem> vset[1<<N];   // 包含4个元素的集合共有16个子集0-15

 set<Elem>& Fork(int m)
 {
     // memo递归
     if (vset[m].size())
     {
         return vset[m];
     }
     for (int i=1; i<=m/2; i++)
         if ((i&m) == i)
         {
             set<Elem>& s1 = Fork(i);
             set<Elem>& s2 = Fork(m-i);
             set<Elem>::iterator cit1;
             set<Elem>::iterator cit2;
             // 得到两个子集合的笛卡尔积，并对结果集合的元素对进行6种运算
             for (cit1=s1.begin(); cit1!=s1.end(); cit1++)
                 for (cit2=s2.begin(); cit2!=s2.end(); cit2++)
                 {
                     string str;
                     str = "("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";
                     vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));
                     str = "("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";
                     vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));
                     str = "("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;
                     vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));
                     str = "("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";
                     vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));
                     if (abs(cit2->res)>EPS)
                     {
                         str = "("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";
                         vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));
                     }
                     if (abs(cit1->res)>EPS)
                     {
                         str = "("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";
                         vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));
                     }
                 }
         }
     return vset[m];
 }

 int main()
 {
     int i;
     for (i=0; i<N; i++)
         cin >> A[i];
     // 递归的结束条件
     for (i=0; i<N; i++)
     {
         char str[10];
         sprintf(str,"%d",A[i]);
         vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));
     }
     Fork((1<<N)-1);//开始1111 表示四个数
     // 显示算出24点的运算过程
     set<Elem>::iterator it;
     for (it=vset[(1<<N)-1].begin();
        it!=vset[(1<<N)-1].end(); it++)
         {
             if (abs(it->res-RES) < EPS)
                 cout << it->info << endl;
     }
 }