记录几个开平方算法

整数开平方算法:

本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。


我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。
先看下面两个算式，
x = 10*p + q  (1)
公式(1)左右平方之后得：
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
现在假设我们知道x^2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x^2的开方x了。
我们把公式(2)改写为如下格式：
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)
这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。


我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方


首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值


       3
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
       9
    ---------------
    |  3 34
下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边：


       3  q
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
       9
    ---------------
  6q|  3 34
我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到：


       3  5
    ---------------
    | 12 34 56 78 90
       9
    ---------------
  65|  3 34
    |  3 25
    ---------------
          9 56
接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。 


这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了：


q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)
我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方：


      1  0  1  0
    ---------------
    | 1 10 01 00
      1
    ---------------
 100| 0 10 
    | 0 00 
    ---------------
    |   10 01
1001|   10 01
    ---------------
            0 00
这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。


下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a>>30取a的最高2位，通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。


unsigned short sqrt(unsigned long a){
  unsigned long rem = 0;
  unsigned long root = 0;
  unsigned long divisor = 0;
  for(int i=0; i<16; i++){
    root <<= 1;
    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
    a <<= 2;
    divisor = (root<<1) + 1;
    if(divisor <= rem){
      rem -= divisor;
      root++;
    }
  }
  return (unsigned short)(root);
}

基于二分法的开平方算法

#include <stdio.h>
//求绝对值
#define abs(x) (x)>0?(x):(-(x))
 
int  main(){
    double val;
    double eps;
    //value及精度
    printf("Input $value $eps->");
    scanf("%lf %lf",&val,&eps);
    if(val < 0 )
    {
        val*=-1;
    }
    double low,high;
    if(val  < 1)
    {
        low = val;
        high = 1;
    }
    else
    {
        low= 1;
        high = val;
    }
    while(1)
    {
        double mid =  (high + low)/2;
        double tmp =  mid * mid;
        if((abs(tmp-val))< eps)
        {
            printf("%f\n",mid);
            break;
        }
        if(tmp > val)
        {
            high = mid;
        }
        else
       {
            low = mid;
        }
    }
}

神秘的0x5f3759df之卡马克的开平方算法

float kamake_sqr(float number) {     

    long i;     
    float x, y;     
    const float f = 1.5F;     
    x = number * 0.5F;     
    y = number;     
    i = *(long *) &y;     
    i = 0x5f3759df - (i >> 1);     
    y = *(float *) &i;     
    y = y * (f - (x * y * y));     
    y = y * (f - (x * y * y));     
    return number * y;     
}     
    
main() {     
    printf("sqr(100)=%f", kamake_sqr(100.0));     
    getch();     
}   

输出：sqr(100)=9.999964


算法里面求平方根一般采用的是无限逼近的方法，比如牛顿迭代法，


比如求5的平方根，选一个猜测值比如2，那么我们可以这么算
5/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...


这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)


卡马克牛就牛在选择了0x5f3759df 这个开始值，使得迭代的时候收敛速度暴涨，对于Quake III所要求的精度10的负三次方，只需要一次迭代就能够得到结果。


附加一个小故事：


普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？


传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。


最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。