金明的预算方案(01背包，捆绑附件)

描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有0个、1个或2个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是10元的整数倍）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j₁，j₂，……，j_k，则所求的总和为：

v[j₁]*w[j₁]+v[j₂]*w[j₂]+…+v[j_k]*w[j_k]。（其中*为乘号）

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入

输入文件budget.in 的第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m
（其中N（<32000）表示总钱数，m（<60）为希望购买物品的个数。）
从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有3个非负整数
v p q
（其中v表示该物品的价格（v<10000），p表示该物品的重要度（1~5），q表示该物品是主件还是附件。如果q=0，表示该物品为主件，如果q>0，表示该物品为附件，q是所属主件的编号）

输出

输出文件budget.out只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<200000）。

样例输入

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

样例输出

2200

题解：

这道题是一道典型的背包问题，比较麻烦的就是它还存在附件和主件之分。但这并不影响解题，由于附件最多两个，那么我们做一个对主，附件做个捆绑就行了。

（1）         标准算法

因为这道题是典型的背包问题，显然标准算法就是动态规划。由于我们要对主，附件做捆绑。由于题目没有直接给出每个主件对应的附件，所以还需要做一个预处理：另开两个数组q1，q2来分别记录对应的第i个主件的附件。那么对与附件不需要处理。而主件的花费就有4种情况了。( 下面用W表示花费)

W1=v[i]                              （只买主件）

W2=v[i]+v[q1[i]]                       （买主件和第一个附件）

W3=v[i]+v[q2[i]]                        （买主件和第二个附件）

W4=v[i]+v[q1[i]]+v[q2[i]]                （买主件和那两个附件）

设计一个状态opt[i]表示花i元钱可买到的物品的价格个重要度最大值。边界条件是opt[0]=0。这样就不难设计出这个状态的转移方程来：

opt[i]=max{opt[i],opt[i-wj]}      ((i-wj>0) and (opt[i-wj]>0)) (0<j<=4)

显然题目的解就是opt[1]到opt[n]中的一个最大值。但在输出是要注意将解减1。

注：价格是10是整数倍所以读入数据是可以使n=n div 10,wi=wi div 10

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int dp[33000];
int v[70], w[70], q[70];
int c[70][3], tw[5], tv[5], cnt;
int N, m;

void pack(int i)
{
    if(c[i][0] == 0)
    {
        tv[1] = v[i];
        tw[1] = v[i] * w[i];
        cnt = 1;
    }
    else if(c[i][0] == 1)
    {
        tv[1] = v[i];
        tw[1] = v[i] * w[i];
        tv[2] = v[i] + v[c[i][1]];
        tw[2] = v[i] * w[i] + v[c[i][1]] * w[c[i][1]];
        cnt = 2;
    }
    else
    {
        tv[1] = v[i];
        tw[1] = v[i] * w[i];
        tv[2] = v[i] + v[c[i][1]];
        tw[2] = v[i] * w[i] + v[c[i][1]] * w[c[i][1]];
        tv[3] = v[i] + v[c[i][2]];
        tw[3] = v[i] * w[i] + v[c[i][2]] * w[c[i][2]];
        tv[4] = v[i] + v[c[i][1]] + v[c[i][2]];
        tw[4] = v[i] * w[i] + v[c[i][1]] * w[c[i][1]] + v[c[i][2]] * w[c[i][2]];
        cnt = 4;
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&N,&m) != EOF)
    {
        N /= 10;
        int i, j, k;
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&q[i]);
            v[i] /= 10;
            if(q[i]) c[q[i]][++c[q[i]][0]] = i;
        }

        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            if(q[i]) continue;
            pack(i);
            for(j = N; j >= v[i]; j--)
                for(k = 1; k <= cnt; k++)
                    if(j >= tv[k]) dp[j] = max(dp[j], dp[j-tv[k]] + tw[k]);
        }
        printf("%d\n",dp[N] * 10);
    }
    return 0;
}