前向动力学与反向动力学是骨骼动画中很重要的方法，那么它的原理和实现究竟是怎样的呢，我写了一篇关于前向动力学与反向动力学的教程，希望对大家有帮助！
一、前向动力学的特点：
1、具有层次的骨骼结构，比如说当我们举起手臂的时候，我们的手肘跟着运动，手腕跟着手肘运动，手指跟着手腕运动，这就是一个典型的具有层次的骨骼运动，也就说，当父骨骼运动时，所有的子骨骼也随之运动
2、每一根骨骼都是由定义在其父骨骼关节坐标空间中的旋转角度ri和固定的位移ti决定的
设R={r0, r1, r2, r3,……}
那么骨骼链中的最末端的骨骼的位置E（Ex，Ey，Ez）（终端效应）
E=f（R）
那么在一般2D情况下
考虑以下的骨骼链：
可以看见骨骼链的末端骨骼的位置和旋转就是由r0, r1, r2, r3和t0, t1, t2, t3决定的，由于t0, t1, t2, t3是固定的，因此实际是仅有r0, r1, r2, r3所决定。那么我们可以简单研究一下二维平面上的骨骼旋转，请看下图：
设骨骼1，骨骼2，骨骼3的长度分别为L1，L2, L3
设骨骼1，骨骼2，骨骼3的位置二维向量分别为T1，T2, T3
设骨骼1，骨骼2，骨骼3的夹角分别为R1，R2, R3
关节2的位置为T2=（T1.x+L1*cos(R1)，T1.y+L1*sin(R1)）
关节3的位置为T3=（T2.x+-L2*cos(R2-R1)，T2.y+L2*sin(R2-R1)）
终端感应器的位置为E=（T2.x+L3*cos(R3-R2-R1)，T2.y+L3*sin(R3-R2-R1))
二、反向动力学
反向动力学
前向动力学是给定一系列骨骼的状态值r0, r1, r2, r3和t0, t1, t2, t3那么最终骨骼的形态就决定了，终端感应器即最后一根骨骼的位置和旋转也就确定了。但有时候在实际应用中往往是这样一种情况，即确定了一个目标位置，让骨骼通过旋转，使得最后终端感应器能够处于目标位置之上。那么在中情况下就需要进行反向动力学求解了。即已知E（Ex，Ey，Ez），求R ={r0, r1, r2, r3，。。。。}
在前向动力学中E=f（R）
那么在反向动力学中R=f-1（E）
反向动力学的求解通常有那么几种方法：
解析求解：通过对方程式进行直接求解，并选择最优解，但在应用中并不可行
数值分析法：通常代价昂贵，不精确，但是在应用中往往是可行的唯一方法
三种常用方法：
1、雅克比矩阵法（数值分析法）
2、圆柱坐标法（数值分析法）
3、三角函数法（解析求解）
雅克比矩阵法
雅克比矩阵法是由整个系统各个参数R ={r0, r1, r2, r3，。。。。}的偏导数əR ={ər0, ər1, ər2, ər3，。。。。}
那么当系统中R ={r0, r1, r2, r3，。。。。}发生ΔR ={Δr0, Δr1, Δ r2, Δr3，。。。。}
变化时，对应E发生的变化ΔE= əRΔR,ΔE={ΔEx，ΔEy，ΔEz}
实际上，这里只是线性近似，为什么呢，请看下图
雅克比矩阵为：
əEx/r0 əEx/r1 … əEx/rn
j= əEy/r0 əEy/r1 … əEy/rn
əEz/r0 əEz/r1 … əEz/rn
已知ΔE={ΔEx，ΔEy，ΔEz}求ΔR ={Δr0, Δr1, Δ r2, Δr3，。。。。}，在J为方型矩阵的情况下，ΔR=J-1ΔE， J-1为雅克比矩阵J的逆矩阵
雅克比矩阵的问题：
1、如果系统是个高约束系统或者过低约束系统
2、雅克比矩阵不可逆，即系统无解
3、雅克比矩阵不一定为方阵
为了解决这个问题：
我们引入矩阵J+= （JT J）-1 JT
（JT J）-1是方阵，并且可逆，那么我们就可以了利用（JT J）-1,而且这是可行的，为什么呢，我们先看看此公式的推导：
JΔR=ΔE
那么J JTΔR= JTΔE，两边同时乘上（J JT）-1，最后得到
ΔR=（J JT）-1 JTΔE，取J+= （JT J）-1 JT
...