取石子游戏之巴什博弈

下面这段来自白白の屋的文章的一段：

巴什博弈：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

    显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果
n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。那么这个时候只要n%(m+1)!=0,先取者一定获胜。

    这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

    分析此类问题主要放法是：P/N分析：

    P点：即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；

    N点：即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。

     三个定理：

    一、所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）；

   二、所有一步能走到必败点P的就是N点；

   三、通过一步操作只能到N点的就是P点；

巴什博弈的一个最重要的特征就是只有一堆。然后就在其中改，要么在范围内不规定个数，要么就规定只能取几个，再要么就倒过来，毕竟是最简单的博弈，代码相对而言较短额~

例题1：NYOJ 23(取石子游戏一)，巴什博弈，只要n%(m+1)!=0,则先取者一定获胜。

#include<iostream>
using namespace std; 
int main()
{   int n,m,Case;
    cin>>Case;
    while(Case--)
    {   cin>>n>>m;
        cout<<(n%(m+1)?"Win":"Lose")<<endl;
    }
    return 0;
}

例题2：HDU 2149，英语标题额，原来是中文题。反过来就是一样的啦，只是取数时的规律是：如果M%(N+1)!=0，那么第一个取的数就是M%(N+1)，留给对手的是(N+1)的倍数，还有就是M<N的情况，不说你也懂，开始写了sort的，但后来一看可以不要，代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{   int n,m;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)
    {   int sum=0;
        if(m%(n+1)==0) cout<<"none";
        else
        {   if(m%(n+1))  cout<<m%(n+1); //直接取余数 
            if(n>=m)
            {   for(int i=m+1;i<=n;i++)
                    cout<<" "<<i;
            } 
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

题3：HDU 1847,寻找必败态，n%3=0则Cici赢，否则Kiki赢。

分析：(1)、若是留给Cici的是3，那么Cici只能取1个或2个，所以再轮到Kiki取的话必赢。

            (2)、若是给Cici留下的是3的倍数，假设为3n(n=1,2,3,..)，那么无论Cici取什么数，剩余的数一定可以写成3m+1或者3m+2(m<n)的形式，那么只要Kiki再取的时候留给Cici的仍然是3的倍数的话，就必胜了。代码略。

当然这种题目可以直接先枚举前面几个数，就能找到规律啦~