扩展欧几里德算法

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欧几里德算法就是辗转相除法求最大公约数。
任给的2个正整数a,b,求a,b的最大公约数gcd(a,b)。

         

以上算法的定理为朴素欧几里德定理：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

扩展欧几里德定理

        对于不全为0的非负整数a，b，那么存在整数x，y使得gcd（a，b）=a*x+b*y。（x，y不是唯一的）。
例如：a=5,b=4; gcd(a,b)=gcd(4,5)=1
1= 4*(-1) + 5*(1) =4*(4)+5*(-3)

 

求解x，y的方法
我们不妨设a>b。
1， 当b=0，gcd（a，b）=a。显然此时x=1，y=0；
2， ab<>0时，设有如下2式成立
a*x1+b*y1=gcd(a,b); b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b);
根据朴素欧几里德定理有gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

则:a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2;
因为：a%b= a-(a/b)*b，代入上式得：
即:a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)y2
= b*x2+a*y2 -(a/b)*b*y2
= a*y2+b*(x2 -(a/b)*y2)
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解x1,y1的方法：x1，y1的值基于x2，y2. 上面的思想是递归定义了，因为gcd不断的递归求解一定会有个时候b=0，所以递归可以结束。 有了这个分析，extend_Euclid函数的理解也就不难了。

扩展欧几里德模板如下：

int xx,yy;		//这里保存最后的解
int gcd(int a,int b){
    if(b == 0) {
        xx = 1;
        yy = 0;
        return a;
    }
    int r = gcd(b, a % b);
    int t = xx;
    xx = yy;
    yy = t - (a/b)*yy;
    return r;
}