POJ 2773 欧几里德

参考：http://www.cnblogs.com/ACShiryu/archive/2011/08/07/poj2773.html

题目大意就是给出n和k求出第k个与n互素的数

如果知道欧几里德算法的话就应该知道gcd（b×t+a，b）=gcd（a，b）  （t为任意整数）

则如果a与b互素，则b×t+a与b也一定互素，如果a与b不互素，则b×t+a与b也一定不互素

故与m互素的数对m取模具有周期性，则根据这个方法我们就可以很快的求出第k个与m互素的数

假设小于m的数且与m互素的数有k个，其中第i个是ai，则第m×k+i与m互素的数是k×m+ai

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int pri[1000000];
int gcd ( int a , int b ) 
{
    return b == 0 ? a : gcd ( b , a % b ) ;
}
int main()
{
    int m , k ;
    while ( cin >> m >> k ) 
    {
        int i , j ;
        for ( i = 1 , j = 0 ; i <= m ; i ++ )
            if ( gcd ( m , i ) == 1 )
                pri [ j ++ ] = i ;
        
        if ( k%j != 0)
            cout <<k/j * m +pri[k%j-1] << endl;
        else//要特别考虑k%j=0的情况，因为数组是从0开始的，第i个对应的是pri[i-1]
            cout << (k/j-1)*m+pri[j-1] << endl ;
    }
    return 0;
}

对m求欧拉函数的同时对m进行分解，求出m的所有素因子，所有与m不互素的数，都至少与m有一个公共素因子，于是，我们可以在每次找到一个m的素因子后，将它的整数倍标记，这样，后面枚举的时候就可以用O(1)的时间判断了

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1000000;
int prime[801];//保存1000以内的素数
int num;//1000以内素数的个数
int isprime[1000001];
int flag[1000001];//flag[i]表示i是否与当前m互质
void getprime()//筛出素数
{
	for(int i=2;i<=1000000;i++)if(isprime[i]==0)
	{
		prime[num++]=i;
		for(int j=1;j*i<=1000000;j++)
		isprime[j*i]=1;
	}
}
int euler(int n)//求出n的欧拉函数并且筛出所有与其互质的数flag[i]==0表示n与i不互质
{
	int nn=n;
	int res=n;
	for(int i=0;i<num&&prime[i]*prime[i]<=n;i++)
	{
		if(n%prime[i]==0)
		{
			res=res/prime[i]*(prime[i]-1);
			while(n%prime[i]==0)
			{
				n/=prime[i];
			}
			for(int j=prime[i];j<=nn;j=j+prime[i])//所有prime[i]的倍数肯定与n不互质
			{
				flag[j]=1;
			}
		}
	}
	if(n>1)
	{
		res=res/n*(n-1);
		for(int j=n;j<=nn;j+=n)
		{
			flag[j]=1;
		}
	}
	return res;
}
int solve(int key)
{
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=1000001;i++)
	{
		if(flag[i]==0)
		cnt++;
		if(cnt==key)
		return i;
	}
}
int main()
{
	int m,k;
	getprime();
	while(scanf("%d%d",&m,&k)!=EOF)
	{
		memset(flag,0,sizeof(flag));
		if(m==1)
		{printf("%d\n",k);continue;}
		int f=euler(m);
		int key=(k-1)%f+1;
		printf("%I64d\n",(__int64)((k-1)/(f)*m+solve(key)));
		
	}
}