题目:求一个连通图的割点,割点的定义是,如果除去此节点和与其相关的边,图不再连通,描述算法。
分析:
1. 最简单也是最直接的算法是,删除一个点然后判断连通性,如果删除此点,图不再连通,则此点是割点,反之不是割点(图的连通性一般通过深搜来判定,是否能一次搜索完 全部顶点);
2. 通过深搜优先生成树来判定。从任一点出发深度优先遍历得到优先生成树,对于树中任一顶点V而言,其孩子节点为邻接点。由深度优先生成树可得出两类割点的特性:
(1)若生成树的根有两棵或两棵以上的子树,则此根顶点必为割点。因为图中不存在连接不同子树顶点的边,若删除此节点,则树便成为森林;
(2)若生成树中某个非叶子顶点V,其某棵子树的根和子树中的其他节点均没有指向V的祖先的回边,则V为割点。因为删去v,则其子树和图的其它部分被分割开来。
仍然利用深搜算法,只不过在这里定义visited[v]表示为深度优先搜索遍历图时访问顶点v的次序号,定义low[v]=Min{visited[v],low[w],visited[k]},其中w是顶点v在深度优先生成树上的孩子节点;k是顶点v在深度优先生成树上由回边联结的祖先节点。
割点判定条件:如果对于某个顶点v,存在孩子节点w且low[w]>=visited[v],则该顶点v必为关节点。因为当w是v的孩子节点时,low[w]>=visited[v],表明w及其子孙均无指向v的祖先的回边,那么当删除顶点v后,v的孩子节点将于其他节点被分割开来,从来形成新的连通分量。
#include <iostream> #include <string> using namespace std; #define MAX_VERTEX_NUM 13 //邻接表存储结构 typedef struct ArcNode{ int adjvex; ArcNode *nextarc; }ArcNode; typedef struct VNode{ string data; ArcNode* firstarc; }VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{ AdjList vertices; int vexnum, arcnum; }ALGraph; //返回u在图中的位置 int LocateVex(ALGraph G, string u) { for(int i=0; i<G.vexnum; i++) if(G.vertices[i].data==u) return i; return -1; } //构造图 void CreateDG(ALGraph &G) { string v1, v2; int i, j, k; cout<<"请输入顶点数和边数:"; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; cout<<"请输入顶点:"; for(i=0; i<G.vexnum; i++) { cin>>G.vertices[i].data; G.vertices[i].firstarc=NULL; } cout<<"请输入边:"<<endl; for(k=0; k<G.arcnum; k++) { cin>>v1>>v2; i=LocateVex(G, v1); j=LocateVex(G, v2); //无向图 ArcNode *arc=new ArcNode; arc->adjvex=j; arc->nextarc=G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc=arc; arc=new ArcNode; arc->adjvex=i; arc->nextarc=G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc=arc; } } //求割点 int count ; int visited[MAX_VERTEX_NUM]; int low[MAX_VERTEX_NUM]; //从第v0个顶点出发深搜,查找并输出关节点(割点) void DFSArticul(ALGraph G, int v0) { int min, w; ArcNode *p; visited[v0]=min=++count;//v0是第count个访问的顶点,min的初值为visited[v0],即v0的访问次序 for(p=G.vertices[v0].firstarc; p ; p=p->nextarc) { w=p->adjvex; if(visited[w]==0)//w未曾访问,是v0的孩子 { DFSArticul(G, w);//从第w个顶点出发深搜,查找并输出关节点(割点),返回前求得low[w] if(low[w]<min)//如果v0的孩子节点w的low[]小,说明孩子节点还与其他节点(祖先)相邻 min=low[w]; if(low[w]>=visited[v0])//v0的孩子节点w只与v0相连,则v0是关节点(割点) cout<<G.vertices[v0].data<<" "; } else if(visited[w]<min)//w已访问,则w是v0生成树上祖先,它的访问顺序必小于min min=visited[w]; } low[v0]=min;//low[v0]取三者最小值 } void FindArticul(ALGraph G) { int i, v; ArcNode *p; count=1; visited[0]=1;//从0号节点开始 for(i=1; i<G.vexnum; i++) visited[i]=0; p=G.vertices[0].firstarc; v=p->adjvex; DFSArticul(G, v); if(count<G.vexnum) { cout<<G.vertices[0].data<<" "; while(p->nextarc) { p=p->nextarc; v=p->adjvex; if(visited[v]==0) DFSArticul(G, v); } } } void main() { ALGraph g; CreateDG(g); cout<<"割点如下: "<<endl; FindArticul(g); cout<<endl; }
这篇博客讲解的更为详细:http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6202646
黑书上给出了关于求点割集的算法,但是比较模糊,我查阅了网络上的相关资料,理解了求点割集的过程,写出如下求点割集的代码,并写了一些简单的证明.
割点集的定义:如果在连通图G中去掉某一点后图不连通,那么这个点即为G的割点,所有割点的集合即为点割集。
求点割集的方法:利用tarjan算法的思想,用数组dfn[v]存储DFS遍历到点v的时间,数组low[v]存储点v能追溯到最早的祖先节点。
如果对于点v来说有如下结论:
1.如果点v是DFS序列的根节点,则如果v有一个以上的孩子,则v是一个割点。
2.如果v不是DFS序列根节点,并且点v的任意后继u能追溯到最早的祖先节点low[u]>=dfn[v],则v是一个割点。
证明1:
假设DFS遍历的第一个节点v不是割点,那么则有low[v]=dfn[v]=1,继续对v的孩子节点u遍历,必然有low[u]>=dfn[v],按照第二条性质,则v是割点,但我们已经假设v不是割点。这是由于v是DFS遍历的起始节点,在遍历序列中v没有祖先节点,v的所有后继节点能追溯到最早的祖先节点最多也就是v了,不可能比v再早了,因此必须把DFS遍历的第一个节点v单独考虑,那么怎么判断v是不是割点呢?
例如上图,设v是DFS序列访问的第一个节点,对v的孩子节点u和u的所有孩子节点进行DFS遍历并标记为已经访问后,如果v的另一个孩子节点k没有被标记为已经访问,那么u和k之间一定不存在边,也就是说u和k之间的连通必然需要点v,因此如果v是DFS遍历的第一个节点,对v是否为割点的判断方法是:看v是不是有多个孩子,如果有则v是割点。
证明2:
如果v不是DFS遍历的第一个节点,那么对于v的所有后继节点来说,如果v不是割点(也就是如果删掉点v,剩下的图还是连通图),那么v的后继节点必然能追溯到DFS遍历序列中v的祖先节点,也就是v的后继节点中存在到达DFS序列中v的祖先的路径,因此当DFS回溯到v节点时对于v的所有后继节点u来说,都有low[u]<dfn[v]。
如果v是一个割点,对所有v的后继节点u进行DFS后,必然有low[u]>=dfn[v],这是因为,当遍历v并将其锁定后,到达v的祖先节点的路径已经被封死,v的后继节点必然不可能访问到v的祖先节点,因此,必然有low[u]>=dfn[v]。
有了上面的分析,下面写出求无向图点割集的代码:
#include<iostream> using namespace std; struct L { int v; L *next; }; class HEAD { public: int id; L *next; HEAD(){ id=0; next=NULL;} }; HEAD head[1000]; int dfn[1000],low[1000],t; bool lock[1000],C[1000]; void find(int father,int v) { int count=0; /*统计v的孩子数*/ dfn[v]=low[v]=++t; /*将访问时间赋给dfn[v]和low[v]*/ lock[v]=false; /*标记v点已经访问过,不能再被访问*/ for(L *p=head[v].next;p!=NULL;p=p->next) { if(lock[p->v]) /*如果v的直接后继节点没有访问过,则对其遍历*/ { find(v,p->v); /*对v的直接后继遍历*/ count++; /* 孩子数+1 */ if(low[v]>low[p->v]) /*如果v的孩子能追溯到更早的祖先,则v也能追溯到*/ low[v]=low[p->v]; } else if(p->v!=father&&low[p->v]<low[v]) /*如果v的直接孩子节点已经被访问过*/ low[v]=low[p->v]; if(!father&&count>1) /*如果当前节点是DFS遍历到的第一个节点,则判断其是否有多个孩子*/ C[v]=true; else if(father&&dfn[v]<=low[p->v]) /*否则判断其后继能否追溯到v的祖先*/ C[v]=true; } } int main() { int n,i,a,b; cin>>n; while(cin>>a>>b&&a&&b) /*建立邻接表,输入无向图边每条a b,以0 0结束*/ { L *p=new L; p->next=head[b].next; head[b].next=p; p->v=a; p=new L; p->next=head[a].next; head[a].next=p; p->v=b; head[b].id++; head[a].id++; } memset(lock,true,sizeof(lock)); memset(dfn,0,sizeof(int)*1000); memset(C,0,sizeof(C)); /*C数组用来标记那些点是割点,刚开始全部置为false*/ t=0; /*访问时间*/ find(0,1);/*开始对1号点DFS,第一个遍历的前驱节点设为0*/ for(i=1;i<=n;i++) /*输入割点*/ if(C[i]) cout<<i<<' '; cout<<endl; }