中国剩余定理（转）

中国剩余定理

扩展的欧几里得算法 <---  线性同余方程 <---线性同余方程组（剩余定理）

对于同余方程组：

x=a1 （mod m1）； 1

x=a2 （mod m2）； 2

方程组有一个小于m（m1，m2的最小公倍数）的非负整数解的充分必要条件是（a1-a2）%（m1，m2）==0 ，同样利用扩展欧几里德算法。

两式联立：a1+m1*y=a2+m2*z。

则：a1-a2=m2*z-m1*y; 这样就可以了解出z和y，则：x=a2+m2*z；

现在我们将其推广到一般情形：（设m1,m2,···,mk两两互素）

x=a1（mod m1）;

x=a2（mod m2）;

···

x=ak（mod mk）;其在M=m1*m2*···*mk;中有唯一整数解。

记Mi=M/mi;因为（Mi,mi）=1,故有两整数pi,qi满足Mi*pi+mi*qi=1，如果记ei=Mi*pi;

那么：ei=0 （mod mj）,j!=i; ei=1（mod mj）,j=i;

很明显，e1*a1+e2*a2+···+ek*ak就是方程的一个解，加减M倍后就可以得到最小非负整数解了。

如果m1,m2,···,mk不互素，那只能两个两个求了。

x=a1 （mod m1）；

x=a2 （mod m2）；

解完后，a=x； m=m1和m2的最小公倍数。即可。