等价,偏序和全序

等价:

设 R 是某个集合 A 上的一个二元关系。若 R 满足以下条件:

  1. 自反性
  2. 对称性
  3. 传递性

则称 R 是一个定义在 A 上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由 R 改写为 

例如,设 ,定义A上的关系R如下:

其中 叫做 x 与 y 模 3 同余,即 x 除以 3 的余数与 y 除以 3 的余数相等。例子有 1R4, 2R5, 3R6。不难验证 R 为 A 上的等价关系。

不是所有的二元关系也是等价关系。一个简单的反例子是比较两个数中哪个较大:

  • 没有自反性:任何一个数不能比自身为较大 ()
  • 没有对称性:如果 m > n,就肯定不能有 n > m

偏序是在集合 P 上的二元关系 ≤,它是自反的、反对称的、和传递的,就是说,对于所有 P 中的 ab 和 c,有着:

  • a ≤ a (自反性);
  • 如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性);
  • 如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性)。

带有偏序的集合叫做偏序集合(也叫做 poset)。术语有序集合有时也用于偏序集合,只要上下文中不涉及其他种类的次序。特别是,全序集合也可以被称为是"有序集合",特别是在这些结构比偏序集合更常用的领域内。

偏序

设A是一个非空集,P是A上的一个关系,若关系P是 自反的、 反对称的、和 传递的,则称P是集合A上的偏序关系。(#add和等价的区别在于反对称)
即P适合下列条件:
(1)对任意的a∈A,(a,a)∈P;
(2)若(a,b)∈P且(b,a)∈P,则a=b;
(3)若(a,b)∈P,(b,c)∈P,则(a,c)∈P,则称P是A上的一个偏序关系。带偏序关系的集合A称为偏序集或半序集。
若P是A上的一个偏序关系,我们用a≤b来表示(a,b)∈P。
举如下例子说明偏序关系:
1、实数集上的小于等于关系是一个偏序关系。
2、设S是集合,P(S)是S的所有子集构成的集合,定义P(S)中两个元素A≤B当且仅当A是B的子集,即A包含于B,则P(S)在这个关系下成为偏序集。
3、设N是正整数集,定义m≤n当且仅当m能整除n,不难验证这是一个偏序关系。注意它不同于N上的自然序关系。 

全序

  在集合A中,如果对于任意a∈A, b∈A, 有aRb或bRa,即A中的每对元素都满足关系R,则集合A上的偏序R是全序的或线性序的。

       以上讲的过于科学,本人看不懂在折腾了好长一段时间终于搞明白了原来就是这么个事

等价,偏序和全序_第1张图片

a,b是书上的例图,分别代表偏序,全序,右下角那么嘛~~~~~逗乐~~~(*^__^*)

来看a图

按照正常遍历那么有2种路径,分别为1234,1324,2和3之间无法判断谁前谁后,而其他则可以判断前后顺序,比如1始终在2,3遍历之前。2和3始终在4之前

那2和3呢?无法判断,所以这就是偏序,此时2和3因没有顺序,整个是部分有序;再看图b在2和3之间加了一个指向,由2指向3,所以路线只有1234,

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