几种常见博弈问题
（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m），那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m）个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
如果是至少取q个 则把1换成q n=(m+q)*r+s
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,m,t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
if(m>=n)
{
printf("first\n");
continue;
}
else if(n%(m+1)==0)
printf("second\n");
else
printf("first\n");
}
return 0;
}
（二）下面的博弈问题如果实在是看不懂 可以不看 直接记住方法即可 哎这种纯数学的题让人纠结啊 不管怎样 自己最好不要再看为什么了 直接记住算了
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ，k=0，1，2，……，n）表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出，a0=b0=0，ak是未在前面出现过的最小自然数，而 bk= ak + k，奇异局势有如下三条性质：
1.任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立。
2.任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3.采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是（a，b），若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；如果 a = ak ， b < bk ，则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体，变为奇异局势（ ab - ak ， ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k，则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k，分两种情况，第一种，a=aj （j < k），从第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二种，a=bj （j < k），从第二堆里面拿走 b - aj 即可。
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，……，n 方括号表示取整函数）
奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618……，因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。
如果看不懂 看这里
根据betty定理，对于1/A+1/B=1，必有
Ua={trunc(A*k),k为正整数}
Ub={trunc(B*k),k为正整数}
Ua与Ub的并集构成正整数集且Ua于Ub不相交
所以设某个必败态的第一项为trunc(A*k)，第二项为trunc(A*k+k)=trunc((A+1)*k)
则1/A+1/(A+1)=1，求得A为(sqrt(5)+1)/2;
再看不懂直接看这里
两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
对于先拿者 如果是奇异局势 则必输
判断奇异局势方法
k=b-a; 因为从上面的规律可以看出来 第一个奇异 差为2-1=1 第2个差为5-3=2
则第k个为b-a=k
rezult=(floor)(k*(1.0+sqrt(5.0))/2.0); 如果与k有关的这个式子等于a则先取者必输
具体代码如下
#include<math.h>
#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,rezult,k,temp;
while(scanf("%d %d",&a,&b))
{
if(a>b)
{temp=a;a=b;b=temp;} //使得a小b大
k=b-a;
rezult=(floor)(k*(1.0+sqrt(5.0))/2.0);
if(rezult==a)
printf("0\n");
else
printf("1\n");
}
return 0;
}
如果acm比赛的时候不让参考任何资料 可以把这些奇异暴力存起来 一一对比
满足则为奇异 先拿者输
(三)
尼姆博奕（Nimm Game）：
不是很理解，没办法强记策略
有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多（或者最多m个，只需把每堆%(m+1)）的物品，
规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 把每堆数量求异或a1^a2^...^ai'^...^an，结果为零
则先手必输，否则必赢
代码
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
int n,a[100],i,num;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
num=0;
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for(i=0;i<n;i++)
num=num^a[i];
if(num==0) printf("0\n");//等于0则为奇异局势 则先取者一定会输
else printf("1\n");
}
return 0;
}
还没研究的
四)Nim Staircase博奕:这个问题是尼姆博弈的拓展：游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时
可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上（0号）的人获胜。
算法：将奇数楼层的状态异或，和为0则先手必败，否则先手必胜。证明略。
例题：Poj1704
这道题可以把两个棋子中间间隔的空格子个数作为一堆石子，则原题转化为每次可以把左边的一堆石子移到相邻的右边的一堆中。也就
是阶梯尼姆博弈，注意对输入数据先排序，然后倒着往前数（a[n]-a[n-1]-1为第一个），奇数个数到的就做一下xor，其中最前面的看
做a[1]-0-1，参考程序：
var t,n,b,i,j:longint; a:array[0..1000]of longint;begin readln(t); repeat dec(t); readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); qsort(1,n);//快排略 j:=0; b:=0; for i:=n downto 1 do begin inc(j); if odd(j) then b:=b xor (a[i]-a[i-1]-1); end; if b=0 then writeln('Bob will win') else writeln('Georgia will win'); until t=0;end.