二分图最大匹配之Hopcroft-Karp算法

Hopcroft-Karp算法

该算法由John.E.Hopcroft和Richard M.Karp于1973提出，故称Hopcroft-Karp算法。

原理

为了降低时间复杂度，可以在增广匹配集合M时，每次寻找多条增广路径。这样就可以进一步降低时间复杂度，可以证明，算法的时间复杂度可以到达O（n^0.5*m），虽然优化不了多少，但在实际应用时，效果还是很明显的。

基本算法

该算法主要是对匈牙利算法的优化，在寻找增广路径的时候同时寻找多条不相交的增广路径，形成极大增广路径集，然后对极大增广路径集进行增广。在寻找增广路径集的每个阶段，找到的增广路径集都具有相同的长度，且随着算法的进行，增广路径的长度不断的扩大。可以证明，最多增广n^0.5次就可以得到最大匹配。

算法流程

（1）从G=(X,Y;E)中取一个初始匹配。

（2）若X中的所有顶点都被M匹配，则表明M为一个完美匹配，返回；否则，以所有未匹配顶点为源点进行一次BFS，标记各个点到源点的距离。

（3）在满足dis[v] = dis[u] + 1的边集<v,u>中，从X中找到一个未被M匹配的顶点x0，记S = {x0}，T = ￠。

（4）若N（S） = T，则表明当前已经无法得到更大匹配，返回；否则取一y0∈N(S) - 。

（5）若y0已经被M匹配则转步骤（6），否则做一条x0->y0的M-增广路径P（x0,y0）,取M = M△P（x0,y0）。

（6）由于y已经被M匹配，所以M中存在一条边（y0,z0）去S = S∪ {z0}，T = T∪{y0}，转步骤（2）。

算法具体时间与分析

在寻找增广路径中可以对X中的每个未匹配的顶点进行BFS，BFS时对每个顶点维护一个距离编号dx[nx],dy[ny]，如果某个Y中的节点为未匹配点，则找到一条增广路径。BFS结束后找到了增广路径集。然后利用DFS与匈牙利算法类似的方法对每条增广路进行增广，这样就可以找到最大匹配。

实现代码

以Hdu 2389 为例。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAXN = 3010;
const int MAXM = 3010*3010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
	int v;
	int next;
}edge[MAXM];

struct node
{
	double x, y;
	double v;
}a[MAXN], b[MAXN];

int nx, ny;
int cnt;
int t;
int dis;

int first[MAXN];
int xlink[MAXN], ylink[MAXN]; 
/*xlink[i]表示左集合顶点所匹配的右集合顶点序号，ylink[i]表示右集合i顶点匹配到的左集合顶点序号。*/
int dx[MAXN], dy[MAXN]; 
/*dx[i]表示左集合i顶点的距离编号，dy[i]表示右集合i顶点的距离编号*/
int vis[MAXN]; //寻找增广路的标记数组 

void init()
{
	cnt = 0;
	memset(first, -1, sizeof(first));
	memset(xlink, -1, sizeof(xlink));
	memset(ylink, -1, sizeof(ylink));
}

void read_graph(int u, int v)
{
	edge[cnt].v = v;
	edge[cnt].next = first[u], first[u] = cnt++;
}

int bfs()
{
	queue<int> q;
	dis = INF;
	memset(dx, -1, sizeof(dx));
	memset(dy, -1, sizeof(dy));
	for(int i = 0; i < nx; i++)
	{
		if(xlink[i] == -1)
		{
			q.push(i);
			dx[i] = 0;
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.front(); q.pop();
		if(dx[u] > dis) break;
		for(int e = first[u]; e != -1; e = edge[e].next)
		{
			int v = edge[e].v;
			if(dy[v] == -1)
			{
				dy[v] = dx[u] + 1;
				if(ylink[v] == -1) dis = dy[v];
				else
				{
					dx[ylink[v]] = dy[v]+1;
					q.push(ylink[v]);
				}
			}
		}
	}
	return dis != INF;
}

int find(int u)
{
	for(int e = first[u]; e != -1; e = edge[e].next)
	{
		int v = edge[e].v;
		if(!vis[v] && dy[v] == dx[u]+1)
		{
			vis[v] = 1;
			if(ylink[v] != -1 && dy[v] == dis) continue;
			if(ylink[v] == -1 || find(ylink[v]))
			{
				xlink[u] = v, ylink[v] = u;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int MaxMatch()
{
	int ans = 0;
	while(bfs())
	{
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		for(int i = 0; i < nx; i++) if(xlink[i] == -1)
		{
			ans += find(i);
		}
	}
	return ans;
}

double dist(const node a, const node b)
{
	return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}

void read_case()
{
	init();
	int Time;
	scanf("%d", &Time);
	scanf("%d", &nx);
	for(int i = 0; i < nx; i++)
	{
		scanf("%lf%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].v);
	}
	scanf("%d", &ny);
	for(int i = 0; i < ny; i++)
	{
		scanf("%lf%lf", &b[i].x, &b[i].y);
	}
	for(int i = 0; i < nx; i++)
	{
		for(int j = 0; j < ny; j++)
		{
			double limit = a[i].v*Time;
			double s = dist(a[i], b[j]);
			if(s <= limit) read_graph(i, j);
		}
	}
}

void solve()
{
	read_case();
	int ans = MaxMatch();
	printf("%d\n\n", ans);
}

int main()
{
	int T, times = 0;
	scanf("%d", &T);
	while(T--)
	{
		printf("Scenario #%d:\n", ++times);
		solve();
	}
	return 0;
}