http://blog.csdn.net/wumuzi520/article/details/7014559
01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里,每件物品的体积为C1,C2,…,Cn,与之相对应的价值为W1,W2,…,Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。
动态规划(DP):
1) 子问题定义:F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。
2) 根据第i件物品放或不放进行决策
其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值;
而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。
根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。
设物品件数为N,背包容量为V,第i件物品体积为C[i],第i件物品价值为W[i]。
由此写出伪代码如下:
F[0][] ← {0} F[][0] ← {0} for i←1 to N do for k←1 to V F[i][k] ← F[i-1][k] if(k >= C[i]) then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i]) return F[N][V]
以上伪代码数组均为基于1索引,及第一件物品索引为1。时间及空间复杂度均为O(VN)
举例:表1-1为一个背包问题数据表,设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1-2所示,最大价值即为F[6][10].
表1-1背包问题数据表
物品号i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
体积C | 2 | 3 | 1 | 4 | 6 | 5 |
价值W | 5 | 6 | 5 | 1 | 19 | 7 |
表1-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
2 | 0 | 5 | 6 | 6 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 |
3 | 0 | 5 | 5 | 10 | 11 | 11 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 |
4 | 0 | 5 | 5 | 10 | 11 | 11 | 16 | 16 | 16 | 16 | 17 |
5 | 0 | 5 | 5 | 10 | 11 | 11 | 19 | 24 | 24 | 29 | 30 |
6 | 0 | 5 | 5 | 10 | 11 | 11 | 19 | 24 | 24 | 29 | 30 |
很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了,并没有把所选的是哪些物品找出来。本人在学习背包问题之前遇到过很多的类似问题,当时也是只求得了最大价值或最大和,对具体哪些物品或路径等细节也束手无策。再次和大家一起分享细节的求法。
根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息,从F[N][V]逆着走向F[0][0],设i=N,j=V,如果F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品,同时j -= C[i],不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1,因为01背包的第i件物品要么放要么不放,不管放还是不放其已经遍历过了,需要继续往下遍历。
打印背包内物品的伪代码如下:
i←N j←V while(i>0 && j>0) do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i]) then Print W[i] j←j-C[i] i←i-1
当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息,开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0][0]来获取背包内物品。其中Path[0][]与Path[][0]为边界。 加入路径信息的伪代码如下:
F[0][] ← {0} F[][0] ← {0} Path[][] ← 0 for i←1 to N do for k←1 to V F[i][k] ← F[i-1][k] if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+W[i]) then F[i][k] ← F[i-1][k-C[i]]+W[i] Path[i][k] ← 1 return F[N][V] and Path[][]
打印背包内物品的伪代码如下:
i←N j←V while(i>0 && j>0) do if(Path[i][j] = 1) then Print W[i] j←j-C[i] i←i-1
在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下,利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]来打印物品耗费空间,Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。但下面要讲到的O(V)的空间复杂度的方法却不能利用关系式F [j]==F [j-C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.
接下来考虑如何压缩空间,以降低空间复杂度。
时间复杂度为O(VN),空间复杂度将为O(V)
观察伪代码可也发现,F[i][j]只与F[i-1][j]和F[i-1][j-C[i]]有关,即只和i-1时刻状态有关,所以我们只需要用一维数组F[]来保存i-1时的状态F[]。假设i-1时刻的F[]为{a0,a1,a2,…,av},难么i时刻的F[]中第k个应该为max(ak,ak-C[i]+W[i])即max(F[k],F[k-C[i]]+W[i]),这就需要我们遍历V时逆序遍历,这样才能保证求i时刻F[k]时F[k-C[i]]是i-1时刻的值。如果正序遍历则当求F[k]时其前面的F[0],F[1],…,F[K-1]都已经改变过,里面存的都不是i-1时刻的值,这样求F[k]时利用F[K-C[i]]必定是错的值。最后F[V]即为最大价值。
求F[j]的状态方程如下:
伪代码如下:
F[] ← {0} for i ← 1 to N do for k ← V to C[i] F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i]) return F[V]
同样,怎么求路径?
利用前面讲到的Path[][]标记,需空间消耗O(NV)。这里不能用F [j]==F [j-C[i]]+W[i]来判断是因为一维数组并不能提供足够的信息来寻找二维路径。
加入路径信息的伪代码如下:
F[] ← {0} Path[][]←0 for i←1 to N do for k←V to C[i] if(F[k] < F[k-C[i]]+W[i]) then F[k] ← F[k-C[i]]+W[i] Path[i][k] ← 1 return F[V] and Path[][]
打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样,这里不再重写。
下面针对前面提到的表1-1提供两种方法的测试代码:
#include <iostream> #include <cstring> #include "CreateArray.h" //该头文件用于动态创建及销毁二维数组,读者自己实现 using namespace std;
//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)
int Package01(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity) { int** Table = NULL; int** Path = NULL; CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组 CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组 for(int i = 1; i <= nLen; i++) { for(int j = 1; j <= nCapacity; j++) { Table[i][j] = Table[i-1][j]; Path[i][j] = 0; if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1]) { Table[i][j] = Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1]; Path[i][j] = 1; } } } int i = nLen, j = nCapacity; while(i > 0 && j > 0) { if(Path[i][j] == 1) { cout << Weight[i-1] << " "; j -= Weight[i-1]; } i--; } cout << endl; int nRet = Table[nLen][nCapacity]; DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1); //销毁二维数组 DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组 return nRet; }
//时间复杂度O(VN),不考虑路径空间复杂度为O(V),考虑路径空间复杂度为O(VN)
int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity) { int * Table = new int [nCapacity+1]; memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int)); int** Path = 0; CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组 for(int i = 0; i < nLen; i++) { for(int j = nCapacity; j >= Weight[i]; j--) { Path[i+1][j] = 0; if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i]) { Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i]; Path[i+1][j] = 1; } } } int i = nLen, j = nCapacity; while(i > 0 && j > 0) { if(Path[i][j] == 1) { cout << Weight[i-1] << " "; j -= Weight[i-1]; } i--; } cout << endl; int nRet = Table[nCapacity]; DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组 delete [] Table; return nRet; }
本文部分内容参考“背包九讲”
以下是我重写了上面的代码 进行了一部分简化:
实现了上述的所有的伪码所描述的算法:
#define N 5 #define W 5 int Weight[]={-1,4,2,1,3,4}; int value[]={-1,19,29,11,23,11}; int Path[N+1][W+1]; int Table[N+1][W+1]; int Table1[W+1]; int Package01_1() { memset(Table1,0,sizeof(int)*(W+1)); for(int i=0;i<N+1;i++) { for(int j=0;j<W+1;j++) { Path[i][j]=0; } } for(int i=1;i<N;i++) { for(int j=W;j>=Weight[i];j--) { if(Table1[j]<Table1[j-Weight[i]]+value[i]) { Table1[j]=Table1[j-Weight[i]]+value[i]; Path[i][j]=1; } } } int i=N,j=W; cout<<"该进版本:"<<endl; while(i>0&&j>0) { if(Path[i][j]==1) { cout<<i<<" "; j-=Weight[i]; } i--; } cout<<endl; return Table1[W]; } ///重量数组, 价值数组,数据个数,横坐标长度 int Package01() { for(int i=0;i<N+1;i++) { for(int j=0;j<W+1;j++) { Table[i][j]=-1; Path[i][j]=0; } } for(int i=0;i<W+1;i++) { Table[0][i]=0; } for(int j=0;j<N+1;j++) { Table[j][0]=0; } for(int i=1;i<=N;i++) { for(int j=1;j<=W;j++) { if(j<Weight[i]) { Table[i][j]=Table[i-1][j]; } else { int t1=Table[i-1][j]; int t2=Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i]; if(t2>t1) Path[i][j]=1; Table[i][j]=t1>t2?t1:t2; } } } return Table[N][W]; } void Print() { int i=N; int j=W; while(i>0&&j>0) { if(Path[i][j]==1) { cout<<i<<" "; j-=Weight[i]; } i--; } } void Print_1() { int i=N; int j=W; while(i>0&&j>0) { if(Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i]==Table[i][j]) { cout<<i<<" "; j-=Weight[i]; } i--; } } int main() { cout<<"没有改进版本:"<<endl; cout<<Package01()<<endl; Print(); cout<<endl; Print_1(); cout<<endl; cout<<Package01_1()<<endl; return 0; }
#define N 5 #define W 5 int Weight[]={-1,4,2,1,3,4}; int value[]={-1,19,29,11,23,11}; int Path[N+1][W+1]; int Table[N+1][W+1]; int Table1[W+1]; int Package01_1() { memset(Table1,0,sizeof(int)*(W+1)); for(int i=0;i<N+1;i++) { for(int j=0;j<W+1;j++) { Path[i][j]=0; } } for(int i=1;i<N;i++) { for(int j=W;j>=Weight[i];j--) { if(Table1[j]<Table1[j-Weight[i]]+value[i]) { Table1[j]=Table1[j-Weight[i]]+value[i]; Path[i][j]=1; } } } int i=N,j=W; cout<<"该进版本:"<<endl; while(i>0&&j>0) { if(Path[i][j]==1) { cout<<i<<" "; j-=Weight[i]; } i--; } cout<<endl; return Table1[W]; } ///重量数组, 价值数组,数据个数,横坐标长度 int Package01() { for(int i=0;i<N+1;i++) { for(int j=0;j<W+1;j++) { Table[i][j]=-1; Path[i][j]=0; } } for(int i=0;i<W+1;i++) { Table[0][i]=0; } for(int j=0;j<N+1;j++) { Table[j][0]=0; } for(int i=1;i<=N;i++) { for(int j=1;j<=W;j++) { if(j<Weight[i]) { Table[i][j]=Table[i-1][j]; } else { int t1=Table[i-1][j]; int t2=Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i]; if(t2>t1) Path[i][j]=1; Table[i][j]=t1>t2?t1:t2; } } } return Table[N][W]; } void Print() { int i=N; int j=W; while(i>0&&j>0) { if(Path[i][j]==1) { cout<<i<<" "; j-=Weight[i]; } i--; } } void Print_1() { int i=N; int j=W; while(i>0&&j>0) { if(Table[i-1][j-Weight[i]]+value[i]==Table[i][j]) { cout<<i<<" "; j-=Weight[i]; } i--; } } int main() { cout<<"没有改进版本:"<<endl; cout<<Package01()<<endl; Print(); cout<<endl; Print_1(); cout<<endl; cout<<Package01_1()<<endl; return 0; }
本文部分内容参考“背包九讲”本文部分内容参考“背包九讲”本文部分内容参考“背包九讲”