数据结构复习之【树】

 

名词解释 

 

树这个数据结构用到了递归的概念：树的子树还是树；

度：节点的子树个数；

树的度：树中任意节点的度的最大值；

兄弟：两节点的parent相同；

层：根在第一层，以此类推；

高度：叶子节点的高度为1，根节点高度最高；

有序树：树中各个节点是有次序的；

森林：多个树组成；

 

树的表示法

 

1.双亲表示法：每个节点存储：数据、parent在数组中的下标；

2.孩子表示法：全部节点组成一个数组，每个数组指向一个单链表，存放其孩子；如下图：

3.双亲孩子表示法

4.孩子兄弟表示法

此种方法的好处在于一个多叉树能够转换成一颗二叉树，是树转换成二叉树的好办法；

线性表是树的特殊情况；

斜树：所有节点只有左节点或右节点；比如：

满二叉树：叶子节点一定要在最后一层，并且所有非叶子节点都存在左孩子和右孩子；

完全二叉树：从左到右、从上到下构建的二叉树；比如：

性质

1.第i层至多有个节点；

2.深度为k的树最多有2^k -1个节点；

3.任意二叉树，度为0的节点数=度为2的节点数+1；

4.如果i为父亲的编号，则孩子的编号为2i和2i+1;

5.如果孩子的编号为k,则父亲的编号为floor(k/2);

二叉树的存储结构

 

(1)顺序存储：只适用于完全二叉树；

(2)链式存储：最通用的存储方法；

但是这样很浪费空间，因为会有很多空指针（如果有n个节点，则有2n个left、right指针，但是用到的只有n-1个指针）

改进：线索二叉树：将空指针链接到前驱或后继节点；（此处前驱和后继是按照中序遍历上讲的）

节点数据结构如下图：

比如：

一般构造线索二叉树的过程步骤如下：

(1)构造一般二叉树；

(2)遍历二叉树的同时，建立线索二叉树；

二叉树的遍历

 

(1)前序遍历：先双亲、再左孩子、最后右孩子；

(2)中序遍历：先左孩子、再双亲、最后右孩子；

(3)后序遍历：先左孩子、再右孩子、最后双亲；

(4)层次遍历：一层一层，从左到右、从上到下遍历；

注意：

(1)已知前序、后序遍历结果，不能推导出一棵确定的树；

(2)已知前序、中序遍历结果，能够推导出后序遍历结果；

(2)已知后序、中序遍历结果，能够推导出前序遍历结果；

 

扩展二叉树

对于一般二叉树的扩充，为了能够通过一个遍历序列建立二叉树，扩展二叉树如图所示：

如果存在遍历序列：AB##C##,则可以很容易的建立二叉树；

此种方式很方便，因为一般来说都需要三种遍历方式中的两种才可以确定一个二叉树；

树、森林、二叉树的转换

 

树-->二叉树

 

根据兄弟孩子表示法进行转换；

 

森林-->二叉树

 

 二叉树-->树

 二叉树-->森林

 

Huffman编码

 

Huffman是一种前缀编码；

Huffman编码是建立在Huffman树的基础上进行的，因此为了进行Huffman编码，必须先构建Huffman树；

树的路径长度是每个叶节点到根节点的路径之和；

带权路径长度是（每个叶节点的路径长度*wi）之和；

Huffman树是最小带权路径长度的二叉树；

构造Huffman树的过程：

(1)将各个节点按照权重从小到大排序；

(2)去最小权重的两个节点，并新建一个父节点作为这两个节点的双亲，双亲节点的权重为子节点权重之和，再将此父节点放入原来的队列；

(3)重复(2)的步骤，直到队列中只有一个节点，此节点为根节点；

构造完Huffman树之后，就可以进行Huffman编码了，编码规则：

(1)左分支填0，右分支填1；

Huffman解码过程

(1)给定一个01串，将01串进行Huffman树，到叶子节点了就表明已经解码一个节点，然后再次遍历Huffman树；